Номер 2.235, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.235. Воспользуйтесь методом замены переменной и решите уравнение

$\frac{x-1}{x+2} - \sqrt{\frac{x-1}{x+2}} - 2 = 0.$

Для решения уравнения $\frac{x-1}{x+2} - \sqrt{\frac{x-1}{x+2}} - 2 = 0$ воспользуемся методом замены переменной.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю:$$ \begin{cases} \frac{x-1}{x+2} \ge 0 \\ x+2 \neq 0 \end{cases} $$Решая неравенство $\frac{x-1}{x+2} \ge 0$ методом интервалов, находим, что оно выполняется при $x \in (-\infty, -2) \cup [1, \infty)$. Это и есть ОДЗ нашего уравнения.

Произведем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{\frac{x-1}{x+2}}$. Поскольку $t$ — это арифметический квадратный корень, должно выполняться условие $t \ge 0$. Тогда $\frac{x-1}{x+2} = t^2$. Подставим новую переменную в исходное уравнение:$$ t^2 - t - 2 = 0 $$

Мы получили квадратное уравнение относительно $t$. Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -2. Корнями являются:$t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Согласно условию $t \ge 0$, корень $t_2 = -1$ является посторонним. Таким образом, у нас остается только одно решение для $t$:$t = 2$.

Теперь выполним обратную замену:$$ \sqrt{\frac{x-1}{x+2}} = 2 $$Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:$$ \frac{x-1}{x+2} = 4 $$Решим полученное рациональное уравнение:$$ x - 1 = 4(x + 2) $$$$ x - 1 = 4x + 8 $$$$ 3x = -9 $$$$ x = -3 $$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = -3$ области допустимых значений $x \in (-\infty, -2) \cup [1, \infty)$. Поскольку $-3$ принадлежит интервалу $(-\infty, -2)$, корень является действительным решением уравнения.

Ответ: -3