Номер 4, страница 99 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

4. Постройте график функции:

a) $y = 2^x$;

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$.

а) $y = 2^x$

Это показательная функция с основанием $a = 2$. Так как основание $a > 1$, функция является возрастающей.

Основные свойства функции $y = 2^x$:

• Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: все положительные действительные числа, $E(y) = (0; +\infty)$. График функции полностью лежит выше оси абсцисс (оси Ox).
• График функции пересекает ось ординат (ось Oy) в точке $(0, 1)$, так как $2^0 = 1$.
• График не пересекает ось абсцисс. Ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to -\infty$.
• Функция является строго возрастающей на всей области определения.

Для построения графика составим таблицу значений, выбрав несколько удобных точек:

При $x = -2$, $y = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25$
При $x = -1$, $y = 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0.5$
При $x = 0$, $y = 2^0 = 1$
При $x = 1$, $y = 2^1 = 2$
При $x = 2$, $y = 2^2 = 4$
При $x = 3$, $y = 2^3 = 8$

Нанесем точки $(-2; 0.25)$, $(-1; 0.5)$, $(0; 1)$, $(1; 2)$, $(2; 4)$, $(3; 8)$ на координатную плоскость и соединим их плавной линией. Линия должна приближаться к оси Ox слева (при $x \to -\infty$) и быстро расти вправо (при $x \to +\infty$).

Ответ: График функции $y = 2^x$ – это кривая, проходящая через точку $(0, 1)$, расположенная в верхней полуплоскости. Она монотонно возрастает на всей числовой оси, приближаясь к оси Ox при $x \to -\infty$ и неограниченно возрастающая при $x \to +\infty$.

б) $y = (\frac{1}{3})^x$

Это показательная функция с основанием $a = \frac{1}{3}$. Так как основание $0 < a < 1$, функция является убывающей. Функцию также можно записать в виде $y = 3^{-x}$.

Основные свойства функции $y = (\frac{1}{3})^x$:

• Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: все положительные действительные числа, $E(y) = (0; +\infty)$. График функции полностью лежит выше оси абсцисс.
• График функции пересекает ось ординат в точке $(0, 1)$, так как $(\frac{1}{3})^0 = 1$.
• График не пересекает ось абсцисс. Ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to +\infty$.
• Функция является строго убывающей на всей области определения.

Для построения графика составим таблицу значений:

При $x = -2$, $y = (\frac{1}{3})^{-2} = 3^2 = 9$
При $x = -1$, $y = (\frac{1}{3})^{-1} = 3^1 = 3$
При $x = 0$, $y = (\frac{1}{3})^0 = 1$
При $x = 1$, $y = (\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3} \approx 0.33$
При $x = 2$, $y = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9} \approx 0.11$

Нанесем точки $(-2; 9)$, $(-1; 3)$, $(0; 1)$, $(1; \frac{1}{3})$, $(2; \frac{1}{9})$ на координатную плоскость и соединим их плавной линией. Линия будет быстро убывать слева направо, приближаясь к оси Ox при $x \to +\infty$.

Ответ: График функции $y = (\frac{1}{3})^x$ – это кривая, проходящая через точку $(0, 1)$, расположенная в верхней полуплоскости. Она монотонно убывает на всей числовой оси, неограниченно возрастая при $x \to -\infty$ и приближаясь к оси Ox при $x \to +\infty$.