Номер 8, страница 99 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

8. Решите уравнение $4^{2x+1} - 7 \cdot 12^x + 3^{2x+1} = 0$.

Данное уравнение является показательным. Преобразуем его, чтобы свести к более простому виду. Исходное уравнение:

$$4^{2x+1} - 7 \cdot 12^x + 3^{2x+1} = 0$$

Воспользуемся свойствами степеней ($a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, $a^{mn} = (a^m)^n$, $(ab)^n = a^n \cdot b^n$), чтобы преобразовать каждый член уравнения:

$$4^{2x+1} = 4^1 \cdot 4^{2x} = 4 \cdot (4^x)^2$$

$$12^x = (4 \cdot 3)^x = 4^x \cdot 3^x$$

$$3^{2x+1} = 3^1 \cdot 3^{2x} = 3 \cdot (3^x)^2$$

Подставим преобразованные выражения обратно в уравнение:

$$4 \cdot (4^x)^2 - 7 \cdot 4^x \cdot 3^x + 3 \cdot (3^x)^2 = 0$$

Полученное уравнение является однородным показательным уравнением. Поскольку $3^x \neq 0$ для любого действительного значения $x$, мы можем разделить обе части уравнения на $(3^x)^2 = 3^{2x}$:

$$\frac{4 \cdot (4^x)^2}{(3^x)^2} - \frac{7 \cdot 4^x \cdot 3^x}{(3^x)^2} + \frac{3 \cdot (3^x)^2}{(3^x)^2} = 0$$

Упростим, используя свойство $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:

$$4 \cdot \left(\frac{4^x}{3^x}\right)^2 - 7 \cdot \frac{4^x}{3^x} + 3 = 0$$

$$4 \cdot \left(\left(\frac{4}{3}\right)^x\right)^2 - 7 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^x + 3 = 0$$

Введем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{4}{3}\right)^x$. Так как показательная функция всегда принимает положительные значения, то $t > 0$.

С новой переменной уравнение принимает вид квадратного уравнения:

$$4t^2 - 7t + 3 = 0$$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 1}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$

$$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 1}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$$

Оба найденных значения для $t$ положительны, поэтому они оба являются допустимыми.

Теперь выполним обратную замену для каждого значения $t$:

1. Для $t_1 = \frac{3}{4}$:

$$\left(\frac{4}{3}\right)^x = \frac{3}{4}$$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{4}{3}$:

$$\left(\frac{4}{3}\right)^x = \left(\frac{4}{3}\right)^{-1}$$

Приравнивая показатели степеней, получаем первый корень:

$$x_1 = -1$$

2. Для $t_2 = 1$:

$$\left(\frac{4}{3}\right)^x = 1$$

Представим 1 как степень с основанием $\frac{4}{3}$:

$$\left(\frac{4}{3}\right)^x = \left(\frac{4}{3}\right)^0$$

Приравнивая показатели степеней, получаем второй корень:

$$x_2 = 0$$

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: -1 и 0.

Ответ: $-1; 0$.