Номер 3.2, страница 100 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.2. Вычислите:

а) $\log_2 16$;

б) $\log_5 \frac{1}{25}$;

в) $\log_3 \sqrt{3}$;

г) $\lg 1$.

а) Чтобы вычислить $\log_2 16$, нужно найти степень, в которую необходимо возвести основание логарифма (число 2), чтобы получить число под знаком логарифма (число 16). По определению логарифма, если $\log_2 16 = x$, то это эквивалентно уравнению $2^x = 16$. Представим число 16 в виде степени с основанием 2: $16 = 2^4$. Тогда уравнение принимает вид $2^x = 2^4$. Отсюда следует, что $x = 4$.

Ответ: $4$

б) Чтобы вычислить $\log_5 \frac{1}{25}$, найдем степень, в которую нужно возвести основание 5, чтобы получить число $\frac{1}{25}$. Пусть $\log_5 \frac{1}{25} = x$. По определению, это означает, что $5^x = \frac{1}{25}$. Представим $\frac{1}{25}$ в виде степени с основанием 5. Так как $25 = 5^2$, то, используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем: $\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$. Тогда уравнение имеет вид $5^x = 5^{-2}$. Отсюда следует, что $x = -2$.

Ответ: $-2$

в) Чтобы вычислить $\log_3 \sqrt{3}$, найдем степень, в которую нужно возвести основание 3, чтобы получить число $\sqrt{3}$. Пусть $\log_3 \sqrt{3} = x$. По определению, $3^x = \sqrt{3}$. Представим $\sqrt{3}$ в виде степени с основанием 3. Используя определение корня как дробной степени ($ \sqrt{a} = a^{1/2} $), получаем: $\sqrt{3} = 3^{1/2}$. Тогда уравнение принимает вид $3^x = 3^{1/2}$. Следовательно, $x = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

г) Запись $\lg 1$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Таким образом, $\lg 1 = \log_{10} 1$. Найдем степень, в которую нужно возвести 10, чтобы получить 1. Пусть $\log_{10} 1 = x$. По определению, $10^x = 1$. Любое число (кроме нуля), возведенное в нулевую степень, равно единице ($a^0 = 1$). Значит, $10^0 = 1$, и следовательно, $x=0$. Это общее свойство логарифмов: логарифм единицы по любому допустимому основанию всегда равен нулю.

Ответ: $0$