Номер 3.4, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.4. Пользуясь свойствами логарифмов, вычислите:

а) $log_6 3 + log_6 12$;

б) $log_{15} 3 + log_{15} 5$;

в) $lg4 + lg25$;

г) $log_2 14 + log_2 \frac{32}{7}$;

д) $log_{\frac{1}{6}} 2 + log_{\frac{1}{6}} 3$;

е) $lg19 - lg190$;

ж) $log_4 7 - log_4 \frac{7}{16}$;

з) $log_{49} 84 - log_{49} 12$;

и) $log_{\sqrt{3}} 12 - log_{\sqrt{3}} 4$;

к) $log_5 \sqrt{10} - log_5 \sqrt{2}$.

Для решения этих задач мы будем использовать следующие свойства логарифмов:

• Сумма логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$
• Разность логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$
• Основное логарифмическое тождество и его следствия: $\log_a a^p = p$, $\log_a a = 1$
• Десятичный логарифм: $\lg b = \log_{10} b$

а) Используем свойство суммы логарифмов: $\log_6 3 + \log_6 12 = \log_6 (3 \cdot 12) = \log_6 36$. Так как $36 = 6^2$, то $\log_6 36 = \log_6 6^2 = 2$.
Ответ: 2

б) Используем свойство суммы логарифмов: $\log_{15} 3 + \log_{15} 5 = \log_{15} (3 \cdot 5) = \log_{15} 15$. Так как основание логарифма равно его аргументу, то $\log_{15} 15 = 1$.
Ответ: 1

в) Запись $\lg$ означает логарифм по основанию 10. Используем свойство суммы логарифмов: $\lg 4 + \lg 25 = \lg (4 \cdot 25) = \lg 100$. Так как $100 = 10^2$, то $\lg 100 = \log_{10} 10^2 = 2$.
Ответ: 2

г) Используем свойство суммы логарифмов: $\log_2 14 + \log_2 \frac{32}{7} = \log_2 (14 \cdot \frac{32}{7}) = \log_2 (\frac{14 \cdot 32}{7}) = \log_2 (2 \cdot 32) = \log_2 64$. Так как $64 = 2^6$, то $\log_2 64 = \log_2 2^6 = 6$.
Ответ: 6

д) Используем свойство суммы логарифмов: $\log_{\frac{1}{6}} 2 + \log_{\frac{1}{6}} 3 = \log_{\frac{1}{6}} (2 \cdot 3) = \log_{\frac{1}{6}} 6$. Чтобы найти значение, нужно ответить на вопрос: в какую степень надо возвести $\frac{1}{6}$, чтобы получить 6? Так как $\frac{1}{6} = 6^{-1}$, то $(\frac{1}{6})^{-1} = (6^{-1})^{-1} = 6^1 = 6$. Следовательно, $\log_{\frac{1}{6}} 6 = -1$.
Ответ: -1

е) Используем свойство разности логарифмов: $\lg 19 - \lg 190 = \lg (\frac{19}{190}) = \lg (\frac{1}{10})$. Так как $\frac{1}{10} = 10^{-1}$, то $\lg (\frac{1}{10}) = \log_{10} 10^{-1} = -1$.
Ответ: -1

ж) Используем свойство разности логарифмов: $\log_4 7 - \log_4 \frac{7}{16} = \log_4 (7 : \frac{7}{16}) = \log_4 (7 \cdot \frac{16}{7}) = \log_4 16$. Так как $16 = 4^2$, то $\log_4 16 = \log_4 4^2 = 2$.
Ответ: 2

з) Используем свойство разности логарифмов: $\log_{49} 84 - \log_{49} 12 = \log_{49} (\frac{84}{12}) = \log_{49} 7$. Чтобы найти значение, нужно ответить на вопрос: в какую степень надо возвести 49, чтобы получить 7? Так как $\sqrt{49} = 49^{\frac{1}{2}} = 7$, то $\log_{49} 7 = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

и) Используем свойство разности логарифмов: $\log_{\sqrt{3}} 12 - \log_{\sqrt{3}} 4 = \log_{\sqrt{3}} (\frac{12}{4}) = \log_{\sqrt{3}} 3$. Чтобы найти значение, нужно ответить на вопрос: в какую степень надо возвести $\sqrt{3}$, чтобы получить 3? Так как $(\sqrt{3})^2 = 3$, то $\log_{\sqrt{3}} 3 = 2$.
Ответ: 2

к) Используем свойство разности логарифмов: $\log_5 \sqrt{10} - \log_5 \sqrt{2} = \log_5 (\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}) = \log_5 (\sqrt{\frac{10}{2}}) = \log_5 \sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$, то $\log_5 \sqrt{5} = \log_5 5^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$