Номер 3.5, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.5. Найдите значение выражения:

а) $\log_3 135 - \log_3 20 + \log_3 36;$

б) $\lg 250 + \lg 20 - \lg 5;$

в) $\log_3 45 - \log_3 5 + 9^{\log_3 5};$

г) $\sqrt{\log_{16} 4 + \log_{16} 24 - \log_{16} 6};$

д) $\log_7 \log_3 81 - \log_7 28;$

е) $\log_2 (\sqrt{5} - 1) + \log_2 (\sqrt{5} + 1).$

а) Используя свойства логарифмов $\log_a x - \log_a y = \log_a (x/y)$ и $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$, объединим все члены выражения:
$\log_3 135 - \log_3 20 + \log_3 36 = \log_3\left(\frac{135 \cdot 36}{20}\right)$.
Теперь упростим выражение под знаком логарифма:
$\frac{135 \cdot 36}{20} = \frac{(27 \cdot 5) \cdot 36}{4 \cdot 5} = \frac{27 \cdot 36}{4} = 27 \cdot 9 = 243$.
Вычислим итоговый логарифм, зная, что $243 = 3^5$:
$\log_3 243 = \log_3(3^5) = 5$.
Ответ: 5

б) Применим свойства логарифмов к выражению. Запись $\lg$ означает десятичный логарифм ($\log_{10}$):
$\lg 250 + \lg 20 - \lg 5 = \lg\left(\frac{250 \cdot 20}{5}\right)$.
Упростим выражение в скобках:
$\frac{250 \cdot 20}{5} = 250 \cdot 4 = 1000$.
Получаем логарифм от 1000:
$\lg 1000 = \log_{10}(10^3) = 3$.
Ответ: 3

в) Решим задачу по частям. Сначала упростим разность логарифмов:
$\log_3 45 - \log_3 5 = \log_3\left(\frac{45}{5}\right) = \log_3 9$.
Так как $9 = 3^2$, то $\log_3 9 = 2$.
Теперь преобразуем вторую часть выражения $9^{\log_3 5}$. Представим 9 как $3^2$:
$9^{\log_3 5} = (3^2)^{\log_3 5} = 3^{2 \cdot \log_3 5}$.
Используя свойство $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$, получим:
$3^{2 \cdot \log_3 5} = 3^{\log_3 (5^2)} = 3^{\log_3 25}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$3^{\log_3 25} = 25$.
Сложим результаты обеих частей:
$2 + 25 = 27$.
Ответ: 27

г) Сначала найдём значение выражения под знаком корня, используя свойства логарифмов:
$\log_{16} 4 + \log_{16} 24 - \log_{16} 6 = \log_{16}\left(\frac{4 \cdot 24}{6}\right)$.
Упростим дробь под знаком логарифма:
$\frac{4 \cdot 24}{6} = 4 \cdot 4 = 16$.
Таким образом, выражение под корнем равно:
$\log_{16} 16 = 1$.
Теперь извлечем квадратный корень:
$\sqrt{1} = 1$.
Ответ: 1

д) Сначала вычислим значение вложенного логарифма $\log_3 81$.
Поскольку $81 = 3^4$, то $\log_3 81 = 4$.
Подставим это значение в исходное выражение:
$\log_7(\log_3 81) - \log_7 28 = \log_7 4 - \log_7 28$.
Применим свойство разности логарифмов:
$\log_7 4 - \log_7 28 = \log_7\left(\frac{4}{28}\right) = \log_7\left(\frac{1}{7}\right)$.
Так как $\frac{1}{7} = 7^{-1}$, то:
$\log_7(7^{-1}) = -1$.
Ответ: -1

е) Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием:
$\log_2(\sqrt{5} - 1) + \log_2(\sqrt{5} + 1) = \log_2\left( (\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1) \right)$.
Произведение в скобках является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1) = (\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4$.
Подставим полученное значение обратно в логарифм:
$\log_2 4 = \log_2(2^2) = 2$.
Ответ: 2