Номер вопрос 2, страница 106 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Какие из данных чисел являются целыми:

a) $\log_5 0.2$;

б) $\log_5 0.0016$;

в) $\log_5 1$;

г) $\log_5 0.04$?

Для определения, какие из данных чисел являются целыми, необходимо вычислить значение каждого выражения. Число является целым, если значение логарифма — целое число. Это возможно, если аргумент логарифма можно представить в виде целой степени его основания.

а) $\log_5 0,2$

Представим аргумент логарифма $0,2$ в виде степени с основанием $5$.

Сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Используя свойство степени с отрицательным показателем, получаем: $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.

Таким образом, выражение принимает вид: $\log_5 0,2 = \log_5(5^{-1})$.

По основному свойству логарифмов $\log_b(b^k) = k$, получаем: $\log_5(5^{-1}) = -1$.

Число $-1$ является целым.

Ответ: является целым.

б) $\log_5 0,0016$

Представим аргумент логарифма $0,0016$ в виде степени с основанием $5$.

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,0016 = \frac{16}{10000} = \frac{1}{625}$.

Так как $625$ это $5$ в четвертой степени ($5^4 = 625$), то $\frac{1}{625} = \frac{1}{5^4} = 5^{-4}$.

Таким образом, выражение принимает вид: $\log_5 0,0016 = \log_5(5^{-4})$.

Вычисляем значение: $\log_5(5^{-4}) = -4$.

Число $-4$ является целым.

Ответ: является целым.

в) $\log_5 1$

Согласно свойству логарифмов, логарифм единицы по любому допустимому основанию равен нулю. Это следует из определения степени, так как любое число (кроме $0$) в нулевой степени равно $1$.

В данном случае, $5^0 = 1$, следовательно, $\log_5 1 = 0$.

Число $0$ является целым.

Ответ: является целым.

г) $\log_5 0,04$

Представим аргумент логарифма $0,04$ в виде степени с основанием $5$.

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$.

Так как $25$ это $5$ во второй степени ($5^2 = 25$), то $\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$.

Таким образом, выражение принимает вид: $\log_5 0,04 = \log_5(5^{-2})$.

Вычисляем значение: $\log_5(5^{-2}) = -2$.

Число $-2$ является целым.

Ответ: является целым.