Номер 3.10, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.10. Найдите значение выражения:

а) $\frac{\log_3 16}{\log_3 48 - 1}$;

б) $\frac{\log_3^2 6 - \log_3^2 2}{\log_3 12}$;

в) $\frac{\log_2 100}{\log_2^2 5 - \log_2^2 20}$.

а)

Рассмотрим выражение $ \frac{\log_3 16}{\log_3 48 - 1} $.

Для упрощения знаменателя представим число 1 в виде логарифма с основанием 3. Так как $ \log_a a = 1 $, то $ 1 = \log_3 3 $.

Теперь знаменатель можно переписать следующим образом:

$ \log_3 48 - 1 = \log_3 48 - \log_3 3 $.

Воспользуемся свойством разности логарифмов $ \log_a b - \log_a c = \log_a\left(\frac{b}{c}\right) $:

$ \log_3 48 - \log_3 3 = \log_3\left(\frac{48}{3}\right) = \log_3 16 $.

Подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$ \frac{\log_3 16}{\log_3 16} = 1 $.

Ответ: 1

б)

Рассмотрим выражение $ \frac{\log_3^2 6 - \log_3^2 2}{\log_3 12} $.

Числитель дроби представляет собой формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $, где $ a = \log_3 6 $ и $ b = \log_3 2 $.

Применим эту формулу к числителю:

$ \log_3^2 6 - \log_3^2 2 = (\log_3 6 - \log_3 2)(\log_3 6 + \log_3 2) $.

Теперь упростим каждую из скобок, используя свойства логарифмов:

1. Разность логарифмов: $ \log_3 6 - \log_3 2 = \log_3\left(\frac{6}{2}\right) = \log_3 3 = 1 $.

2. Сумма логарифмов: $ \log_3 6 + \log_3 2 = \log_3(6 \cdot 2) = \log_3 12 $.

Таким образом, числитель равен произведению $ 1 \cdot \log_3 12 = \log_3 12 $.

Подставим полученное значение числителя в исходное выражение:

$ \frac{\log_3 12}{\log_3 12} = 1 $.

Ответ: 1

в)

Рассмотрим выражение $ \frac{\log_2 100}{\log_2^2 5 - \log_2^2 20} $.

Знаменатель дроби также представляет собой разность квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $, где $ a = \log_2 5 $ и $ b = \log_2 20 $.

Разложим знаменатель на множители:

$ \log_2^2 5 - \log_2^2 20 = (\log_2 5 - \log_2 20)(\log_2 5 + \log_2 20) $.

Упростим каждую из скобок:

1. Разность логарифмов: $ \log_2 5 - \log_2 20 = \log_2\left(\frac{5}{20}\right) = \log_2\left(\frac{1}{4}\right) = \log_2(2^{-2}) = -2 $.

2. Сумма логарифмов: $ \log_2 5 + \log_2 20 = \log_2(5 \cdot 20) = \log_2 100 $.

Следовательно, знаменатель равен произведению $ -2 \cdot \log_2 100 = -2\log_2 100 $.

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$ \frac{\log_2 100}{-2\log_2 100} $.

Сократив дробь на $ \log_2 100 $ (который не равен нулю), получаем:

$ -\frac{1}{2} $.

Ответ: -0.5