Номер 3.16, страница 108 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.16. Пользуясь свойствами логарифмов, вычислите:

a) $log^2_{0.25} \sqrt{2}$;

б) $log^2_{\sqrt{3}} 81$;

в) $log^3_{49} \frac{1}{\sqrt[3]{7}};

г) $log^3_{0.125} \frac{\sqrt{2}}{2}$.

а) $\log_{0,25}^2 \sqrt[7]{2}$

Выражение $\log_{a}^k b$ означает $(\log_a b)^k$. В данном случае нам нужно вычислить $(\log_{0,25} \sqrt[7]{2})^2$.
Для начала вычислим значение логарифма $\log_{0,25} \sqrt[7]{2}$.
Представим основание и аргумент логарифма в виде степени одного и того же числа. В качестве общего основания выберем число 2.
Основание логарифма: $0,25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
Аргумент логарифма: $\sqrt[7]{2} = 2^{\frac{1}{7}}$.
Подставим эти значения в логарифм:
$\log_{0,25} \sqrt[7]{2} = \log_{2^{-2}} 2^{\frac{1}{7}}$.
Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b$ :
$\log_{2^{-2}} 2^{\frac{1}{7}} = \frac{\frac{1}{7}}{-2} \log_2 2 = \frac{1}{7 \cdot (-2)} \cdot 1 = -\frac{1}{14}$.
Теперь возведем полученное значение в квадрат:
$(\log_{0,25} \sqrt[7]{2})^2 = (-\frac{1}{14})^2 = \frac{1}{196}$.

Ответ: $\frac{1}{196}$

б) $\log_{\sqrt{3}}^2 81$

Вычислим $(\log_{\sqrt{3}} 81)^2$.
Сначала найдем значение логарифма $\log_{\sqrt{3}} 81$.
Представим основание и аргумент в виде степени числа 3.
Основание: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.
Аргумент: $81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^4$.
Подставим значения в логарифм:
$\log_{\sqrt{3}} 81 = \log_{3^{\frac{1}{2}}} 3^4$.
Используя свойство $\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b$ :
$\log_{3^{\frac{1}{2}}} 3^4 = \frac{4}{\frac{1}{2}} \log_3 3 = 4 \cdot 2 \cdot 1 = 8$.
Теперь возведем результат в квадрат:
$(\log_{\sqrt{3}} 81)^2 = 8^2 = 64$.

Ответ: $64$

в) $\log_{49}^3 \frac{1}{\sqrt[3]{7}}$

Вычислим $(\log_{49} \frac{1}{\sqrt[3]{7}})^3$.
Сначала найдем значение логарифма $\log_{49} \frac{1}{\sqrt[3]{7}}$.
Представим основание и аргумент в виде степени числа 7.
Основание: $49 = 7^2$.
Аргумент: $\frac{1}{\sqrt[3]{7}} = \frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} = 7^{-\frac{1}{3}}$.
Подставим значения в логарифм:
$\log_{49} \frac{1}{\sqrt[3]{7}} = \log_{7^2} 7^{-\frac{1}{3}}$.
Используя свойство $\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b$ :
$\log_{7^2} 7^{-\frac{1}{3}} = \frac{-\frac{1}{3}}{2} \log_7 7 = -\frac{1}{3 \cdot 2} \cdot 1 = -\frac{1}{6}$.
Теперь возведем результат в куб:
$(\log_{49} \frac{1}{\sqrt[3]{7}})^3 = (-\frac{1}{6})^3 = -\frac{1^3}{6^3} = -\frac{1}{216}$.

Ответ: $-\frac{1}{216}$

г) $\log_{0,125}^3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Вычислим $(\log_{0,125} \frac{\sqrt{2}}{2})^3$.
Сначала найдем значение логарифма $\log_{0,125} \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Представим основание и аргумент в виде степени числа 2.
Основание: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.
Аргумент: $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2^{\frac{1}{2}}}{2^1} = 2^{\frac{1}{2}-1} = 2^{-\frac{1}{2}}$.
Подставим значения в логарифм:
$\log_{0,125} \frac{\sqrt{2}}{2} = \log_{2^{-3}} 2^{-\frac{1}{2}}$.
Используя свойство $\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b$ :
$\log_{2^{-3}} 2^{-\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{1}{2}}{-3} \log_2 2 = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot 1 = \frac{1}{6}$.
Теперь возведем результат в куб:
$(\log_{0,125} \frac{\sqrt{2}}{2})^3 = (\frac{1}{6})^3 = \frac{1^3}{6^3} = \frac{1}{216}$.

Ответ: $\frac{1}{216}$