Номер 3.18, страница 108 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.18. Зная, что $\log_a b = 7$, найдите значение выражения:

a) $\log_a \sqrt[5]{ab}$;

б) $\log_a \sqrt{\frac{a}{b}};

в) $\log_{a^2} (ab)$;

г) $\log_{\sqrt{a}} \sqrt[4]{ab}.

Для решения всех пунктов задачи будем использовать основное условие $log_a b = 7$ и свойства логарифмов:

• Логарифм произведения: $log_c(xy) = log_c x + log_c y$
• Логарифм частного: $log_c(\frac{x}{y}) = log_c x - log_c y$
• Логарифм степени: $log_c(x^p) = p \cdot log_c x$
• Свойство логарифма от основания в степени: $log_{c^p} x = \frac{1}{p} log_c x$
• Основное логарифмическое тождество: $log_c c = 1$
• Представление корня в виде степени: $\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$

а) $log_a \sqrt[5]{ab}$

Сначала преобразуем выражение под логарифмом, используя свойство корня:

$log_a \sqrt[5]{ab} = log_a (ab)^{\frac{1}{5}}$

Применим свойство логарифма степени:

$\frac{1}{5} log_a (ab)$

Теперь применим свойство логарифма произведения:

$\frac{1}{5} (log_a a + log_a b)$

Подставим известные значения $log_a a = 1$ и $log_a b = 7$:

$\frac{1}{5} (1 + 7) = \frac{1}{5} \cdot 8 = \frac{8}{5} = 1.6$

Ответ: $1.6$.

б) $log_a \sqrt{\frac{a}{b}}$

Преобразуем выражение, представив корень как степень:

$log_a \sqrt{\frac{a}{b}} = log_a \left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{2}}$

Используем свойство логарифма степени:

$\frac{1}{2} log_a \left(\frac{a}{b}\right)$

Используем свойство логарифма частного:

$\frac{1}{2} (log_a a - log_a b)$

Подставляем известные значения $log_a a = 1$ и $log_a b = 7$:

$\frac{1}{2} (1 - 7) = \frac{1}{2} \cdot (-6) = -3$

Ответ: $-3$.

в) $log_{a^2} (ab)$

Воспользуемся свойством логарифма от основания в степени:

$log_{a^2} (ab) = \frac{1}{2} log_a (ab)$

Применим свойство логарифма произведения:

$\frac{1}{2} (log_a a + log_a b)$

Подставим известные значения $log_a a = 1$ и $log_a b = 7$:

$\frac{1}{2} (1 + 7) = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$

Ответ: $4$.

г) $log_{\sqrt{a}} \sqrt[4]{ab}$

Представим основание и аргумент логарифма в виде степеней:

$log_{\sqrt{a}} \sqrt[4]{ab} = log_{a^{\frac{1}{2}}} (ab)^{\frac{1}{4}}$

Вынесем показатели степени из основания и аргумента логарифма по свойствам $log_{c^p} x = \frac{1}{p} log_c x$ и $log_c(x^q) = q \cdot log_c x$:

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1/2} \cdot log_a (ab) = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot log_a (ab) = \frac{1}{2} log_a (ab)$

Применим свойство логарифма произведения:

$\frac{1}{2} (log_a a + log_a b)$

Подставляем известные значения $log_a a = 1$ и $log_a b = 7$:

$\frac{1}{2} (1 + 7) = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$

Ответ: $4$.