Номер 3.24, страница 109 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.24. Используйте формулу перехода от одного основания логарифма к другому и вычислите:

а) $\frac{\log_4 125}{\log_4 5}$;

б) $\frac{\log_2 9}{\log_2 81}$;

в) $\frac{\lg \sqrt{7}}{\lg 7}$;

г) $\frac{\log_8 0,01}{\log_8 10}$.

Для решения всех пунктов используется формула перехода от одного основания логарифма к другому, записанная в виде $ \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} $. Мы будем применять её в обратном порядке: $ \frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a $.

а) $ \frac{\log_4 125}{\log_4 5} $

В данном выражении основание логарифмов в числителе и знаменателе одинаково и равно $ c=4 $. Аргумент логарифма в числителе $ a=125 $, а в знаменателе $ b=5 $.

Применяя формулу, получаем:

$ \frac{\log_4 125}{\log_4 5} = \log_5 125 $

Чтобы вычислить $ \log_5 125 $, необходимо найти такую степень $ x $, что $ 5^x = 125 $.

Так как $ 5^3 = 125 $, то $ \log_5 125 = 3 $.

Ответ: 3

б) $ \frac{\log_2 9}{\log_2 81} $

Здесь общее основание логарифмов $ c=2 $. Аргумент в числителе $ a=9 $, в знаменателе $ b=81 $.

Используем ту же формулу:

$ \frac{\log_2 9}{\log_2 81} = \log_{81} 9 $

Найдём степень $ x $, для которой выполняется равенство $ 81^x = 9 $.

Мы знаем, что корень квадратный из 81 равен 9, то есть $ \sqrt{81} = 9 $. В виде степени это записывается как $ 81^{1/2} = 9 $.

Следовательно, $ \log_{81} 9 = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $

в) $ \frac{\lg \sqrt{7}}{\lg 7} $

Запись $ \lg $ означает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Таким образом, $ \lg x = \log_{10} x $. Общее основание логарифмов $ c=10 $. Аргумент в числителе $ a=\sqrt{7} $, в знаменателе $ b=7 $.

Применяем формулу:

$ \frac{\lg \sqrt{7}}{\lg 7} = \log_7 \sqrt{7} $

Представим корень в виде степени: $ \sqrt{7} = 7^{1/2} $.

Тогда $ \log_7 \sqrt{7} = \log_7 (7^{1/2}) $. По свойству логарифма $ \log_b b^p = p $, получаем:

$ \log_7 (7^{1/2}) = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $

г) $ \frac{\log_8 0,01}{\log_8 10} $

Общее основание логарифмов $ c=8 $. Аргумент в числителе $ a=0,01 $, в знаменателе $ b=10 $.

Применяем формулу:

$ \frac{\log_8 0,01}{\log_8 10} = \log_{10} 0,01 $

Чтобы вычислить $ \log_{10} 0,01 $, найдём степень $ x $, для которой $ 10^x = 0,01 $.

Представим десятичную дробь 0,01 в виде степени числа 10:

$ 0,01 = \frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2} $

Значит, $ \log_{10} 0,01 = -2 $.

Ответ: -2