Номер 3.30, страница 109 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.30. Найдите:

a) $\log_2 80$, если $\log_2 5 = a$;

б)* $\log_{75} 135$, если $\log_{15} 45 = b$.

a)

Для того чтобы найти значение выражения $ \log_2 80 $, представим число 80 в виде произведения множителей, один из которых является степенью двойки, а другой связан с данным условием $ \log_2 5 = a $.

Разложим число 80 на множители: $ 80 = 16 \times 5 = 2^4 \times 5 $.

Теперь применим свойства логарифмов. Сначала используем свойство логарифма произведения: $ \log_b(xy) = \log_b x + \log_b y $.

$ \log_2 80 = \log_2 (2^4 \times 5) = \log_2 (2^4) + \log_2 5 $.

Далее, используем свойство логарифма от основания в степени: $ \log_b(b^k) = k $.

$ \log_2(2^4) = 4 $.

Подставим известные значения в выражение:

$ \log_2 80 = 4 + \log_2 5 $.

По условию задачи $ \log_2 5 = a $, следовательно:

$ \log_2 80 = 4 + a $.

Ответ: $ 4 + a $.

б)*

Для решения этой задачи необходимо выразить $ \log_{75} 135 $ через $ b = \log_{15} 45 $. Поскольку основания и аргументы логарифмов разные, удобнее всего перейти к новому, общему основанию. Разложим числа 15, 45, 75, 135 на простые множители, чтобы выбрать удобное основание.

$ 15 = 3 \times 5 $

$ 45 = 9 \times 5 = 3^2 \times 5 $

$ 75 = 25 \times 3 = 5^2 \times 3 $

$ 135 = 27 \times 5 = 3^3 \times 5 $

В качестве нового основания удобно выбрать 3 или 5. Выберем основание 5.

Используем формулу перехода к новому основанию: $ \log_x y = \frac{\log_c y}{\log_c x} $.

Сначала преобразуем данное в условии выражение $ b = \log_{15} 45 $:

$ b = \frac{\log_5 45}{\log_5 15} = \frac{\log_5 (3^2 \times 5)}{\log_5 (3 \times 5)} $.

Применим свойства логарифма произведения $ \log_c(xy) = \log_c x + \log_c y $ и логарифма степени $ \log_c(x^k) = k \log_c x $:

$ b = \frac{\log_5 (3^2) + \log_5 5}{\log_5 3 + \log_5 5} = \frac{2\log_5 3 + 1}{\log_5 3 + 1} $.

Теперь выразим $ \log_5 3 $ через $ b $.

$ b(\log_5 3 + 1) = 2\log_5 3 + 1 $

$ b\log_5 3 + b = 2\log_5 3 + 1 $

$ b - 1 = 2\log_5 3 - b\log_5 3 $

$ b - 1 = (2 - b)\log_5 3 $

$ \log_5 3 = \frac{b - 1}{2 - b} $.

Теперь преобразуем искомое выражение $ \log_{75} 135 $, перейдя к основанию 5:

$ \log_{75} 135 = \frac{\log_5 135}{\log_5 75} = \frac{\log_5 (3^3 \times 5)}{\log_5 (3 \times 5^2)} = \frac{\log_5 (3^3) + \log_5 5}{\log_5 3 + \log_5 (5^2)} = \frac{3\log_5 3 + 1}{\log_5 3 + 2} $.

Подставим найденное выражение для $ \log_5 3 $:

$ \log_{75} 135 = \frac{3\left(\frac{b - 1}{2 - b}\right) + 1}{\frac{b - 1}{2 - b} + 2} $.

Упростим числитель и знаменатель дроби, приведя к общему знаменателю $ (2-b) $.

Числитель: $ \frac{3(b - 1)}{2 - b} + 1 = \frac{3b - 3 + (2 - b)}{2 - b} = \frac{2b - 1}{2 - b} $.

Знаменатель: $ \frac{b - 1}{2 - b} + 2 = \frac{b - 1 + 2(2 - b)}{2 - b} = \frac{b - 1 + 4 - 2b}{2 - b} = \frac{3 - b}{2 - b} $.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$ \log_{75} 135 = \frac{\frac{2b - 1}{2 - b}}{\frac{3 - b}{2 - b}} = \frac{2b - 1}{3 - b} $.

Ответ: $ \frac{2b - 1}{3 - b} $.