Номер 3.36, страница 110 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.36* Найдите значение выражения $log_a b$, если известно, что $log_{a^2 b}^2 (ab^2)=4$.

Пусть искомое значение $ \log_a b = x $. Из определения логарифма известно, что должны выполняться условия: $ a > 0 $, $ a \neq 1 $, $ b > 0 $. Исходное уравнение $ \log_{a^2b}^2 (ab^2) = 4 $ можно переписать как $ (\log_{a^2b} (ab^2))^2 = 4 $.

Чтобы выразить всё через $ x $, воспользуемся формулой перехода к новому основанию для логарифма $ \log_{a^2b} (ab^2) $, выбрав в качестве нового основания $ a $:$ \log_{a^2b} (ab^2) = \frac{\log_a (ab^2)}{\log_a (a^2b)} $.

Теперь преобразуем числитель и знаменатель, используя основные свойства логарифмов и замену $ \log_a b = x $. Для числителя имеем: $ \log_a (ab^2) = \log_a a + \log_a b^2 = 1 + 2\log_a b = 1 + 2x $. Для знаменателя имеем: $ \log_a (a^2b) = \log_a a^2 + \log_a b = 2\log_a a + \log_a b = 2 + x $. При этом знаменатель не должен быть равен нулю, что означает $ 2+x \neq 0 $, или $ x \neq -2 $. Это условие соответствует требованию, чтобы основание исходного логарифма $ a^2b \neq 1 $.

Подставив полученные выражения в исходное уравнение, получаем уравнение относительно $ x $:$ \left(\frac{1+2x}{2+x}\right)^2 = 4 $.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два линейных уравнения. Первое уравнение: $ \frac{1+2x}{2+x} = 2 $. Умножим обе части на $ (2+x) $, получим $ 1 + 2x = 2(2+x) $, что равносильно $ 1 + 2x = 4 + 2x $. Вычитая $ 2x $ из обеих частей, приходим к неверному равенству $ 1 = 4 $. Следовательно, это уравнение не имеет решений.

Второе уравнение: $ \frac{1+2x}{2+x} = -2 $. Умножим обе части на $ (2+x) $, получим $ 1 + 2x = -2(2+x) $, что равносильно $ 1 + 2x = -4 - 2x $. Сгруппировав слагаемые, получим $ 4x = -5 $, откуда находим $ x = -\frac{5}{4} $.

Полученное значение $ x = -5/4 $ не равно $ -2 $, поэтому оно является допустимым решением. Таким образом, искомое значение выражения $ \log_a b $ равно $ -5/4 $. Ответ: $ -5/4 $.