Номер 3.42, страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.42. Зная, что $\log_3 5 = b$, выразите через b значение выражения:

a) $\log_3 45$;

б) $\log_3 0,6$.

Дано, что $\log_3 5 = b$. Необходимо выразить через $b$ значения следующих выражений. Для этого будем использовать основные свойства логарифмов.

а) $\log_3 45$

Чтобы выразить $\log_3 45$ через $b$, представим число 45 в виде произведения чисел, логарифмы которых по основанию 3 мы можем найти.

Разложим 45 на множители: $45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$.

Теперь подставим это разложение в логарифм:

$\log_3 45 = \log_3 (3^2 \cdot 5)$

Используем свойство логарифма произведения $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$:

$\log_3 (3^2 \cdot 5) = \log_3(3^2) + \log_3 5$

Теперь воспользуемся свойством логарифма степени $\log_a(x^p) = p \cdot \log_a x$ для первого слагаемого:

$\log_3(3^2) = 2 \cdot \log_3 3$

Так как логарифм числа по тому же основанию равен единице ($\log_a a = 1$), то $\log_3 3 = 1$. Следовательно, $\log_3(3^2) = 2 \cdot 1 = 2$.

По условию задачи нам дано, что $\log_3 5 = b$.

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$\log_3 45 = 2 + b$

Ответ: $2 + b$

б) $\log_3 0,6$

Для начала представим десятичную дробь 0,6 в виде обыкновенной дроби и сократим ее:

$0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Теперь подставим полученную дробь в логарифм:

$\log_3 0,6 = \log_3\left(\frac{3}{5}\right)$

Используем свойство логарифма частного $\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$:

$\log_3\left(\frac{3}{5}\right) = \log_3 3 - \log_3 5$

Мы знаем, что $\log_3 3 = 1$, и по условию $\log_3 5 = b$.

Подставим эти значения в выражение:

$\log_3 0,6 = 1 - b$

Ответ: $1 - b$