Номер 3.46, страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.46. Вычислите, используя свойства логарифмов:

а) $\log_3 \frac{1}{81}$;

б) $\log_6 (6\sqrt{6})$;

в) $\log_2 (32\sqrt{2})$;

г) $\log_2 (32\sqrt[3]{16})$;

д) $\log_{11} \sqrt[7]{121}$;

е) $\log_5 \sqrt[4]{\sqrt[7]{125}}$.

а) Для вычисления $\log_3 \frac{1}{81}$ представим число под логарифмом в виде степени с основанием 3.
Поскольку $81 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4$, то дробь $\frac{1}{81}$ можно записать как $\frac{1}{3^4} = 3^{-4}$.
Подставим это значение в исходное выражение:$\log_3 \frac{1}{81} = \log_3 (3^{-4})$.
Используя свойство логарифма $\log_a (a^x) = x$, получаем:$\log_3 (3^{-4}) = -4$.
Ответ: -4.

б) Для вычисления $\log_6 (6\sqrt{6})$ представим выражение в скобках в виде степени с основанием 6.
Используем свойства степеней: $\sqrt{6} = 6^{\frac{1}{2}}$. Тогда $6\sqrt{6} = 6^1 \cdot 6^{\frac{1}{2}} = 6^{1+\frac{1}{2}} = 6^{\frac{3}{2}}$.
Подставим это в логарифм:$\log_6 (6\sqrt{6}) = \log_6 (6^{\frac{3}{2}})$.
По свойству $\log_a (a^x) = x$:$\log_6 (6^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

в) Для вычисления $\log_2 (32\sqrt{2})$ представим выражение в скобках в виде степени с основанием 2.
Известно, что $32 = 2^5$ и $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$.
Тогда произведение $32\sqrt{2} = 2^5 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{5+\frac{1}{2}} = 2^{\frac{10}{2}+\frac{1}{2}} = 2^{\frac{11}{2}}$.
Подставим в логарифм:$\log_2 (32\sqrt{2}) = \log_2 (2^{\frac{11}{2}})$.
По свойству $\log_a (a^x) = x$:$\log_2 (2^{\frac{11}{2}}) = \frac{11}{2}$.
Ответ: $\frac{11}{2}$.

г) Для вычисления $\log_2 (32\sqrt[3]{16})$ представим выражение в скобках в виде степени с основанием 2.
Известно, что $32 = 2^5$ и $16 = 2^4$.
Представим корень в виде степени: $\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^4} = (2^4)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}$.
Теперь перемножим степени: $32\sqrt[3]{16} = 2^5 \cdot 2^{\frac{4}{3}} = 2^{5+\frac{4}{3}} = 2^{\frac{15}{3}+\frac{4}{3}} = 2^{\frac{19}{3}}$.
Подставим в логарифм:$\log_2 (32\sqrt[3]{16}) = \log_2 (2^{\frac{19}{3}})$.
По свойству $\log_a (a^x) = x$:$\log_2 (2^{\frac{19}{3}}) = \frac{19}{3}$.
Ответ: $\frac{19}{3}$.

д) Для вычисления $\log_{11} \sqrt[7]{121}$ представим число под логарифмом в виде степени с основанием 11.
Известно, что $121 = 11^2$.
Тогда корень можно записать как $\sqrt[7]{121} = \sqrt[7]{11^2} = (11^2)^{\frac{1}{7}} = 11^{\frac{2}{7}}$.
Подставим в логарифм:$\log_{11} (\sqrt[7]{121}) = \log_{11} (11^{\frac{2}{7}})$.
По свойству $\log_a (a^x) = x$:$\log_{11} (11^{\frac{2}{7}}) = \frac{2}{7}$.
Ответ: $\frac{2}{7}$.

е) Для вычисления $\log_5 \sqrt[4]{\sqrt[7]{125}}$ представим число под логарифмом в виде степени с основанием 5.
Используем свойство вложенных корней $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$ и то, что $125 = 5^3$.
$\sqrt[4]{\sqrt[7]{125}} = \sqrt[4 \cdot 7]{125} = \sqrt[28]{125} = \sqrt[28]{5^3} = 5^{\frac{3}{28}}$.
Подставим в логарифм:$\log_5 (\sqrt[4]{\sqrt[7]{125}}) = \log_5 (5^{\frac{3}{28}})$.
По свойству $\log_a (a^x) = x$:$\log_5 (5^{\frac{3}{28}}) = \frac{3}{28}$.
Ответ: $\frac{3}{28}$.