Номер 3.39, страница 110 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.39. Пользуясь свойствами логарифмов, вычислите:

a) $log_5 12,5 + log_5 2;$

б) $log_8 14 + log_8 \frac{32}{7};$

в) $lg8 + lg125;$

г) $log_6 2 + log_6 3;$

д) $log_3 4 - log_3 12;$

е) $log_{36} 66 - log_{36} 11;$

ж) $\frac{log_7 98 - log_7 14}{7};$

з) $log_{\sqrt{6}} 72 - log_{\sqrt{6}} 2;$

и) $log_2 \sqrt{34} - log_2 \sqrt{17}.$

а) Для вычисления суммы логарифмов с одинаковым основанием воспользуемся свойством суммы логарифмов: $ \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) $.
$ \log_5 12,5 + \log_5 2 = \log_5 (12,5 \cdot 2) = \log_5 25 $.
Так как $ 5^2 = 25 $, то $ \log_5 25 = 2 $.
Ответ: 2

б) Используем свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) $.
$ \log_8 14 + \log_8 \frac{32}{7} = \log_8 (14 \cdot \frac{32}{7}) = \log_8 (\frac{14 \cdot 32}{7}) = \log_8 (2 \cdot 32) = \log_8 64 $.
Так как $ 8^2 = 64 $, то $ \log_8 64 = 2 $.
Ответ: 2

в) Обозначение $ \lg $ означает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Применяем свойство суммы логарифмов.
$ \lg 8 + \lg 125 = \lg (8 \cdot 125) = \lg 1000 $.
Так как $ 10^3 = 1000 $, то $ \lg 1000 = 3 $.
Ответ: 3

г) Используем свойство суммы логарифмов.
$ \log_6 2 + \log_6 3 = \log_6 (2 \cdot 3) = \log_6 6 $.
По определению логарифма, $ \log_a a = 1 $.
$ \log_6 6 = 1 $.
Ответ: 1

д) Для вычисления разности логарифмов с одинаковым основанием воспользуемся свойством разности логарифмов: $ \log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c}) $.
$ \log_3 4 - \log_3 12 = \log_3 (\frac{4}{12}) = \log_3 (\frac{1}{3}) $.
Так как $ \frac{1}{3} = 3^{-1} $, то $ \log_3 (\frac{1}{3}) = \log_3 (3^{-1}) = -1 $.
Ответ: -1

е) Используем свойство разности логарифмов.
$ \log_{36} 66 - \log_{36} 11 = \log_{36} (\frac{66}{11}) = \log_{36} 6 $.
Чтобы найти значение $ \log_{36} 6 $, нужно найти степень $x$, в которую нужно возвести 36, чтобы получить 6. То есть, $ 36^x = 6 $.
Так как $ \sqrt{36} = 6 $, а $ \sqrt{36} = 36^{1/2} $, то $ x = \frac{1}{2} $.
$ \log_{36} 6 = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $

ж) Сначала упростим числитель, используя свойство разности логарифмов.
$ \log_7 98 - \log_7 14 = \log_7 (\frac{98}{14}) = \log_7 7 = 1 $.
Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:
$ \frac{\log_7 98 - \log_7 14}{7} = \frac{1}{7} $.
Ответ: $ \frac{1}{7} $

з) Используем свойство разности логарифмов.
$ \log_{\sqrt{6}} 72 - \log_{\sqrt{6}} 2 = \log_{\sqrt{6}} (\frac{72}{2}) = \log_{\sqrt{6}} 36 $.
Чтобы найти значение $ \log_{\sqrt{6}} 36 $, нужно найти степень $x$, в которую нужно возвести $ \sqrt{6} $, чтобы получить 36. То есть, $ (\sqrt{6})^x = 36 $.
Так как $ \sqrt{6} = 6^{1/2} $ и $ 36 = 6^2 $, то уравнение можно записать как $ (6^{1/2})^x = 6^2 $, или $ 6^{x/2} = 6^2 $.
Отсюда $ \frac{x}{2} = 2 $, следовательно $ x = 4 $.
$ \log_{\sqrt{6}} 36 = 4 $.
Ответ: 4

и) Используем свойство разности логарифмов.
$ \log_2 \sqrt{34} - \log_2 \sqrt{17} = \log_2 (\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{17}}) = \log_2 (\sqrt{\frac{34}{17}}) = \log_2 \sqrt{2} $.
Так как $ \sqrt{2} = 2^{1/2} $, то $ \log_2 \sqrt{2} = \log_2 (2^{1/2}) = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $