Номер 3.32, страница 110 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.32. Найдите значение выражения:

a) $6 \cdot \log_{2} 125 \cdot \log_{5} 2 + 2^{\lg 7} \cdot 5^{\lg 7}$;

б) $10^{0.25\lg 16} + 14\log_{3} \sqrt{2} \cdot \log_{4} 81$.

а) $6 \cdot \log_2 125 \cdot \log_5 2 + 2^{\lg 7} \cdot 5^{\lg 7}$

Решим это выражение по частям.

1. Упростим первое слагаемое $6 \cdot \log_2 125 \cdot \log_5 2$.

Представим $125$ как степень числа $5$: $125 = 5^3$.

Используем свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$:

$\log_2 125 = \log_2 (5^3) = 3 \cdot \log_2 5$

Подставим это в первое слагаемое:

$6 \cdot (3 \cdot \log_2 5) \cdot \log_5 2 = 18 \cdot \log_2 5 \cdot \log_5 2$

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию, следствием из которой является свойство $\log_a b \cdot \log_b a = 1$:

$18 \cdot (\log_2 5 \cdot \log_5 2) = 18 \cdot 1 = 18$

2. Упростим второе слагаемое $2^{\lg 7} \cdot 5^{\lg 7}$.

Используем свойство степеней $a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x$:

$2^{\lg 7} \cdot 5^{\lg 7} = (2 \cdot 5)^{\lg 7} = 10^{\lg 7}$

По определению десятичного логарифма $\lg 7 = \log_{10} 7$.

Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$10^{\log_{10} 7} = 7$

3. Сложим полученные результаты:

$18 + 7 = 25$

Ответ: 25

б) $10^{0.25 \lg 16} + 14 \log_3 \sqrt{2} \cdot \log_4 81$

Решим это выражение по частям.

1. Упростим первое слагаемое $10^{0.25 \lg 16}$.

Используем свойство логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a(b^c)$:

$0.25 \lg 16 = \lg(16^{0.25}) = \lg(16^{1/4}) = \lg(\sqrt[4]{16}) = \lg 2$

Теперь выражение принимает вид $10^{\lg 2}$.

Используя основное логарифмическое тождество ($a^{\log_a b} = b$) и определение десятичного логарифма ($\lg 2 = \log_{10} 2$), получаем:

$10^{\log_{10} 2} = 2$

2. Упростим второе слагаемое $14 \log_3 \sqrt{2} \cdot \log_4 81$.

Преобразуем каждый логарифм по отдельности.

Для первого логарифма: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$.

$\log_3 \sqrt{2} = \log_3 (2^{1/2}) = \frac{1}{2} \log_3 2$

Для второго логарифма: $4 = 2^2$ и $81 = 3^4$.

Используем свойство $\log_{a^n} (b^m) = \frac{m}{n} \log_a b$:

$\log_4 81 = \log_{2^2} (3^4) = \frac{4}{2} \log_2 3 = 2 \log_2 3$

Подставим преобразованные логарифмы в выражение:

$14 \cdot (\frac{1}{2} \log_3 2) \cdot (2 \log_2 3) = 14 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (\log_3 2 \cdot \log_2 3)$

$14 \cdot 1 \cdot (\log_3 2 \cdot \log_2 3)$

Используем свойство $\log_a b \cdot \log_b a = 1$:

$14 \cdot 1 = 14$

3. Сложим полученные результаты:

$2 + 14 = 16$

Ответ: 16