Номер 3.33, страница 110 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.33. Вычислите:$\frac{1}{2}\log_5 3 + \frac{1}{\log_{\sqrt{15}} 5} - \frac{1}{3}\log_5 \frac{27}{25}$

Для решения данного примера воспользуемся свойствами логарифмов. Запишем исходное выражение:

$$ \frac{1}{2}\log_5 3 + \frac{1}{\log_{\sqrt{15}} 5} - \frac{1}{3}\log_5 \frac{27}{25} $$

1. Преобразование слагаемых

Приведем все логарифмы к одному основанию 5. Для второго слагаемого используем свойство $ \frac{1}{\log_b a} = \log_a b $:

$$ \frac{1}{\log_{\sqrt{15}} 5} = \log_5 \sqrt{15} $$

Теперь все выражение имеет логарифмы с основанием 5:

$$ \frac{1}{2}\log_5 3 + \log_5 \sqrt{15} - \frac{1}{3}\log_5 \frac{27}{25} $$

2. Объединение логарифмов

Воспользуемся свойством $ n\log_a b = \log_a b^n $, чтобы внести коэффициенты под знак логарифма:

$$ \log_5 3^{\frac{1}{2}} + \log_5 (15)^{\frac{1}{2}} - \log_5 \left(\frac{27}{25}\right)^{\frac{1}{3}} $$

Теперь, используя свойства $ \log_a b + \log_a c = \log_a(bc) $ и $ \log_a b - \log_a c = \log_a\left(\frac{b}{c}\right) $, объединим все члены в один логарифм:

$$ \log_5 \left( \frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 15^{\frac{1}{2}}}{\left(\frac{27}{25}\right)^{\frac{1}{3}}} \right) $$

3. Упрощение аргумента логарифма

Упростим выражение, стоящее под знаком логарифма. Сначала преобразуем числитель дроби:

$$ 3^{\frac{1}{2}} \cdot 15^{\frac{1}{2}} = (3 \cdot 15)^{\frac{1}{2}} = 45^{\frac{1}{2}} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} $$

Теперь преобразуем знаменатель:

$$ \left(\frac{27}{25}\right)^{\frac{1}{3}} = \frac{27^{\frac{1}{3}}}{25^{\frac{1}{3}}} = \frac{\sqrt[3]{3^3}}{\sqrt[3]{5^2}} = \frac{3}{5^{\frac{2}{3}}} $$

Подставим упрощенные части обратно в дробь и сократим:

$$ \frac{3\sqrt{5}}{\frac{3}{5^{\frac{2}{3}}}} = 3\sqrt{5} \cdot \frac{5^{\frac{2}{3}}}{3} = \sqrt{5} \cdot 5^{\frac{2}{3}} $$

Запишем $ \sqrt{5} $ как $ 5^{\frac{1}{2}} $ и воспользуемся свойством степеней $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:

$$ 5^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{2}{3}} = 5^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}} = 5^{\frac{3}{6} + \frac{4}{6}} = 5^{\frac{7}{6}} $$

4. Вычисление итогового значения

Мы получили, что исходное выражение равно:

$$ \log_5 \left(5^{\frac{7}{6}}\right) $$

По основному логарифмическому тождеству $ \log_a a^x = x $, окончательно получаем:

$$ \log_5 \left(5^{\frac{7}{6}}\right) = \frac{7}{6} $$

Ответ: $ \frac{7}{6} $