Номер 3.37, страница 110 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.37*. Найдите значение выражения $\frac{3\log_3^2 45 - 2 \cdot \log_3 45 \cdot \log_3 5 - \log_3^2 5}{3\log_3 45 + \log_3 5}$.

Для решения данного примера преобразуем логарифмы, используя их свойства. Все логарифмы в выражении имеют одинаковое основание 3.

Ключевым шагом является преобразование $\log_3 45$. Используем свойство логарифма произведения $\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y)$ и свойство логарифма степени $\log_b(x^p) = p \log_b(x)$:

$\log_3 45 = \log_3 (9 \cdot 5) = \log_3 (3^2 \cdot 5) = \log_3 3^2 + \log_3 5 = 2 \log_3 3 + \log_3 5 = 2 \cdot 1 + \log_3 5 = 2 + \log_3 5$.

Теперь рассмотрим исходное выражение. Для удобства введем замену: пусть $a = \log_3 45$ и $b = \log_3 5$. Выражение примет вид:

$\frac{3a^2 - 2ab - b^2}{3a + b}$

Заметим, что числитель $3a^2 - 2ab - b^2$ можно разложить на множители. Сделаем это методом группировки слагаемых:

$3a^2 - 2ab - b^2 = 3a^2 - 3ab + ab - b^2 = 3a(a-b) + b(a-b) = (3a+b)(a-b)$.

Подставим полученное разложение в дробь:

$\frac{(3a+b)(a-b)}{3a + b}$

Знаменатель $3a+b = 3\log_3 45 + \log_3 5 = \log_3(45^3) + \log_3 5 = \log_3(45^3 \cdot 5)$ не равен нулю, так как $45^3 \cdot 5 \ne 1$. Поэтому мы можем сократить дробь на общий множитель $(3a+b)$. В результате получим:

$a-b$

Теперь выполним обратную замену:

$a - b = \log_3 45 - \log_3 5$.

Применим свойство логарифма частного $\log_b(\frac{x}{y}) = \log_b(x) - \log_b(y)$:

$\log_3 45 - \log_3 5 = \log_3(\frac{45}{5}) = \log_3 9$.

Так как $9 = 3^2$, окончательно получаем:

$\log_3 9 = \log_3(3^2) = 2$.

Ответ: 2