Номер 3.40, страница 110 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.40. Найдите значение выражения:

a) $\log_2 56 + \log_2 144 - \log_2 63;$

б) $\log_2 56 - \log_2 7 + 16^{\log_2 3};$

в) $\log_5 \log_2 16 - \log_5 20;$

г) $\log_3 (\sqrt{10} + 1) + \log_3 (\sqrt{10} - 1).$

а) $\log_{2}56 + \log_{2}144 - \log_{2}63$

Для решения используем свойства логарифмов: сумму логарифмов $\log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}(bc)$ и разность логарифмов $\log_{a}b - \log_{a}c = \log_{a}(b/c)$.

$\log_{2}56 + \log_{2}144 - \log_{2}63 = \log_{2}(56 \cdot 144) - \log_{2}63 = \log_{2}\frac{56 \cdot 144}{63}$

Упростим выражение под знаком логарифма, сократив дробь:

$\frac{56 \cdot 144}{63} = \frac{(7 \cdot 8) \cdot 144}{7 \cdot 9} = \frac{8 \cdot 144}{9}$

Поскольку $144 = 9 \cdot 16$, получаем:

$\frac{8 \cdot (9 \cdot 16)}{9} = 8 \cdot 16 = 128$

Теперь нужно вычислить $\log_{2}128$.

Так как $2^7 = 128$, то $\log_{2}128 = 7$.

Ответ: 7

б) $\log_{2}56 - \log_{2}7 + 16^{\log_{2}3}$

Разобьем выражение на две части и решим их по отдельности.

1. Вычислим разность логарифмов: $\log_{2}56 - \log_{2}7$.

Используя свойство разности логарифмов $\log_{a}b - \log_{a}c = \log_{a}(b/c)$:

$\log_{2}56 - \log_{2}7 = \log_{2}\frac{56}{7} = \log_{2}8$

Так как $2^3 = 8$, то $\log_{2}8 = 3$.

2. Вычислим вторую часть: $16^{\log_{2}3}$.

Представим основание 16 как степень 2: $16 = 2^4$.

$16^{\log_{2}3} = (2^4)^{\log_{2}3} = 2^{4 \cdot \log_{2}3}$

Используя свойство степени логарифма $n\log_{a}b = \log_{a}(b^n)$:

$2^{4 \cdot \log_{2}3} = 2^{\log_{2}(3^4)} = 2^{\log_{2}81}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_{a}b} = b$, получаем:

$2^{\log_{2}81} = 81$.

3. Сложим результаты обеих частей:

$3 + 81 = 84$.

Ответ: 84

в) $\log_{5}\log_{2}16 - \log_{5}20$

Сначала вычислим значение внутреннего логарифма $\log_{2}16$.

Так как $2^4 = 16$, то $\log_{2}16 = 4$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$\log_{5}4 - \log_{5}20$

Теперь используем свойство разности логарифмов $\log_{a}b - \log_{a}c = \log_{a}(b/c)$:

$\log_{5}4 - \log_{5}20 = \log_{5}\frac{4}{20} = \log_{5}\frac{1}{5}$

Так как $\frac{1}{5} = 5^{-1}$, то, по определению логарифма, $\log_{5}(5^{-1}) = -1$.

Ответ: -1

г) $\log_{3}(\sqrt{10} + 1) + \log_{3}(\sqrt{10} - 1)$

Для решения используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}(bc)$.

$\log_{3}(\sqrt{10} + 1) + \log_{3}(\sqrt{10} - 1) = \log_{3}((\sqrt{10} + 1)(\sqrt{10} - 1))$

Упростим выражение в скобках, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{10} + 1)(\sqrt{10} - 1) = (\sqrt{10})^2 - 1^2 = 10 - 1 = 9$

Подставим полученное значение обратно в логарифм:

$\log_{3}9$

Так как $3^2 = 9$, то $\log_{3}9 = 2$.

Ответ: 2