Номер 3.45, страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.45. Вычислите:

a) $\log \tan 46^\circ + \log \tan 44^\circ;$

б) $\log_{0.5}\left(2\sin \frac{\pi}{12}\right) + \log_{0.5}\cos \frac{\pi}{12}.$

а) $\lg\tg46^\circ + \lg\tg44^\circ$

Для решения воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$. В данном случае основание логарифма равно 10 (десятичный логарифм).

$\lg\tg46^\circ + \lg\tg44^\circ = \lg(\tg46^\circ \cdot \tg44^\circ)$

Теперь применим тригонометрическую формулу приведения: $\tg(90^\circ - \alpha) = \ctg\alpha$.

Выразим $\tg44^\circ$ через котангенс угла $46^\circ$:

$\tg44^\circ = \tg(90^\circ - 46^\circ) = \ctg46^\circ$

Подставим это выражение обратно в логарифм:

$\lg(\tg46^\circ \cdot \ctg46^\circ)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\tg\alpha \cdot \ctg\alpha = 1$, получаем:

$\lg(1)$

Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.

$\lg(1) = 0$

Ответ: 0

б) $\log_{0,5}(2\sin\frac{\pi}{12}) + \log_{0,5}\cos\frac{\pi}{12}$

Применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$.

$\log_{0,5}(2\sin\frac{\pi}{12}) + \log_{0,5}\cos\frac{\pi}{12} = \log_{0,5}(2\sin\frac{\pi}{12} \cdot \cos\frac{\pi}{12})$

Выражение в скобках под логарифмом соответствует формуле синуса двойного угла: $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$.

В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{12}$. Применим формулу:

$2\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12} = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \sin(\frac{2\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{6})$

Теперь наше выражение выглядит так:

$\log_{0,5}(\sin(\frac{\pi}{6}))$

Мы знаем табличное значение синуса: $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Подставим это значение в логарифм:

$\log_{0,5}(\frac{1}{2})$

Поскольку основание логарифма $0,5$ также равно $\frac{1}{2}$, то по определению логарифма $\log_a a = 1$.

$\log_{0,5}(0,5) = 1$

Ответ: 1