Номер 3.47, страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.47. Найдите значение выражения:

$\log_{625} 5;$

$\log_{0,25} 2;$

$\log_{7\sqrt{7}} 7;$

$\log_{2\sqrt{2}} 4.$

а) Чтобы найти значение выражения $\log_{625} 5$, нужно определить, в какую степень следует возвести основание 625, чтобы получить 5. Обозначим искомое значение через $x$: $\log_{625} 5 = x$.
По определению логарифма, это эквивалентно уравнению $625^x = 5$.
Мы знаем, что 625 является степенью числа 5: $625 = 5^4$.
Подставим это в наше уравнение: $(5^4)^x = 5^1$.
Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $5^{4x} = 5^1$.
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $4x = 1$.
Отсюда $x = \frac{1}{4}$.
Таким образом, $\log_{625} 5 = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

б) Найдем значение выражения $\log_{0,25} 2$. Обозначим его через $x$: $\log_{0,25} 2 = x$.
Это эквивалентно уравнению $0,25^x = 2$.
Преобразуем основание 0,25. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной, а затем в виде степени числа 2:
$0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
Подставим в уравнение: $(2^{-2})^x = 2^1$.
Упростим левую часть: $2^{-2x} = 2^1$.
Приравниваем показатели степеней: $-2x = 1$.
Отсюда $x = -\frac{1}{2}$.
Таким образом, $\log_{0,25} 2 = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

в) Найдем значение выражения $\log_{7\sqrt{7}} 7$. Обозначим его через $x$: $\log_{7\sqrt{7}} 7 = x$.
По определению логарифма: $(7\sqrt{7})^x = 7$.
Преобразуем основание $7\sqrt{7}$. Используя свойство корня $\sqrt{a} = a^{1/2}$ и свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$7\sqrt{7} = 7^1 \cdot 7^{1/2} = 7^{1 + 1/2} = 7^{3/2}$.
Подставим в уравнение: $(7^{3/2})^x = 7^1$.
Упростим левую часть: $7^{\frac{3}{2}x} = 7^1$.
Приравниваем показатели: $\frac{3}{2}x = 1$.
Отсюда $x = \frac{2}{3}$.
Таким образом, $\log_{7\sqrt{7}} 7 = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$

г) Найдем значение выражения $\log_{2\sqrt{2}} 4$. Обозначим его через $x$: $\log_{2\sqrt{2}} 4 = x$.
Это эквивалентно уравнению $(2\sqrt{2})^x = 4$.
Преобразуем основание $2\sqrt{2}$ и число 4 к степеням с основанием 2.
Основание: $2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{1/2} = 2^{1 + 1/2} = 2^{3/2}$.
Число под знаком логарифма: $4 = 2^2$.
Подставим эти значения в уравнение: $(2^{3/2})^x = 2^2$.
Упростим левую часть: $2^{\frac{3}{2}x} = 2^2$.
Приравниваем показатели степеней: $\frac{3}{2}x = 2$.
Найдем $x$: $x = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.
Таким образом, $\log_{2\sqrt{2}} 4 = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$