Номер 3.54, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.54. Пользуясь формулой перехода от одного основания логарифма к другому, вычислите:

a) $\frac{\log_5 64}{\log_5 2}$

б) $\frac{\log_3 5}{\log_3 25}$

в) $\frac{\lg \sqrt[5]{3}}{\lg 3}$

г) $\frac{\log_9 0,0001}{\log_9 10}$

а) Для выражения $ \frac{\log_5 64}{\log_5 2} $ воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $ \frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b $. В данном случае основание $ c=5 $, число под знаком логарифма в числителе $ b=64 $, а в знаменателе $ a=2 $.

Применяя формулу, получаем:

$ \frac{\log_5 64}{\log_5 2} = \log_2 64 $

Чтобы найти значение $ \log_2 64 $, нужно определить, в какую степень следует возвести число 2, чтобы получить 64. Так как $ 2^6 = 64 $, то $ \log_2 64 = 6 $.

Ответ: 6

б) Для выражения $ \frac{\log_3 5}{\log_3 25} $ применяем ту же формулу перехода к новому основанию $ \frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b $. Здесь $ c=3 $, $ b=5 $, $ a=25 $.

$ \frac{\log_3 5}{\log_3 25} = \log_{25} 5 $

Чтобы найти значение $ \log_{25} 5 $, найдем степень $ x $, в которую нужно возвести 25, чтобы получить 5. То есть, $ 25^x = 5 $. Поскольку $ 25 = 5^2 $, уравнение можно переписать в виде $ (5^2)^x = 5^1 $, что равносильно $ 5^{2x} = 5^1 $. Приравнивая показатели степеней, получаем $ 2x = 1 $, откуда $ x = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $

в) Для выражения $ \frac{\lg \sqrt[5]{3}}{\lg 3} $ используем формулу перехода к новому основанию. Напомним, что $ \lg x $ — это десятичный логарифм, то есть $ \log_{10} x $. В данном выражении $ c=10 $, $ b = \sqrt[5]{3} $, $ a=3 $.

$ \frac{\lg \sqrt[5]{3}}{\lg 3} = \log_3(\sqrt[5]{3}) $

Представим корень в виде степени: $ \sqrt[5]{3} = 3^{1/5} $. Тогда выражение принимает вид:

$ \log_3(3^{1/5}) $

По основному свойству логарифма $ \log_a(a^p) = p $, получаем, что $ \log_3(3^{1/5}) = \frac{1}{5} $.

Ответ: $ \frac{1}{5} $

г) Для выражения $ \frac{\log_9 0.0001}{\log_9 10} $ снова применяем формулу перехода к новому основанию $ \frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b $. В данном случае $ c=9 $, $ b=0.0001 $, $ a=10 $.

$ \frac{\log_9 0.0001}{\log_9 10} = \log_{10}(0.0001) $

Чтобы вычислить $ \log_{10}(0.0001) $, представим десятичную дробь $ 0.0001 $ в виде степени числа 10. $ 0.0001 = \frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4} $.

Тогда $ \log_{10}(0.0001) = \log_{10}(10^{-4}) $.

Используя свойство $ \log_a(a^p) = p $, получаем $ \log_{10}(10^{-4}) = -4 $.

Ответ: -4