Номер 3.57, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.57. Вычислите:

a) $(\log_{11} 2 + \frac{1}{\log_5 11}) \cdot \lg{11};$

б) $(\log_7 30 - \frac{1}{\log_2 7}) \cdot \log_{15} 7.$

а) $(\log_{11} 2 + \frac{1}{\log_5 11}) \cdot \lg 11$

Для решения данного примера воспользуемся основными свойствами логарифмов.

1. Сначала преобразуем выражение в скобках. Для этого используем формулу перехода к другому основанию логарифма вида $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$. Применим её ко второму слагаемому в скобках:

$\frac{1}{\log_5 11} = \log_{11} 5$

2. Теперь подставим полученное значение обратно в выражение в скобках:

$\log_{11} 2 + \log_{11} 5$

3. Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием $\log_b x + \log_b y = \log_b(xy)$:

$\log_{11} 2 + \log_{11} 5 = \log_{11}(2 \cdot 5) = \log_{11} 10$

4. Теперь всё выражение принимает вид:

$\log_{11} 10 \cdot \lg 11$

5. Вспомним, что $\lg 11$ — это десятичный логарифм, то есть $\log_{10} 11$. Выражение становится таким:

$\log_{11} 10 \cdot \log_{10} 11$

6. Воспользуемся свойством $\log_a b \cdot \log_b a = 1$. Это свойство легко выводится из формулы замены основания $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$. Если мы поменяем местами множители, свойство становится нагляднее:

$\log_{10} 11 \cdot \log_{11} 10 = \log_{10} 10 = 1$

Либо, используя формулу $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$:

$\log_{11} 10 \cdot \frac{1}{\log_{11} 10} = 1$

Ответ: 1

б) $(\log_7 30 - \frac{1}{\log_2 7}) \cdot \log_{15} 7$

Данный пример решается аналогично предыдущему с использованием тех же свойств логарифмов.

1. Преобразуем выражение в скобках. Применим формулу $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$ к вычитаемому:

$\frac{1}{\log_2 7} = \log_7 2$

2. Подставим результат в скобки:

$\log_7 30 - \log_7 2$

3. Используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием $\log_b x - \log_b y = \log_b(\frac{x}{y})$:

$\log_7 30 - \log_7 2 = \log_7(\frac{30}{2}) = \log_7 15$

4. Теперь исходное выражение имеет вид:

$\log_7 15 \cdot \log_{15} 7$

5. Снова воспользуемся свойством $\log_a b \cdot \log_b a = 1$:

$\log_7 15 \cdot \log_{15} 7 = 1$

Чтобы убедиться в этом, можно использовать формулу $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$:

$\log_7 15 \cdot \frac{1}{\log_7 15} = 1$

Ответ: 1