Номер 3.59, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.59. Найдите значение выражения:

a) $5^{\frac{2}{\log_4 3}} \cdot (0,6)^{\frac{2}{\log_4 3}};$

б) $(3,5)^{\frac{1}{2\log_4 7}} \cdot 2^{\frac{1}{2\log_4 7}};$

в) $20^{\frac{2}{3\log_2 10}} \cdot 50^{\frac{2}{3\log_2 10}}.$

а) $5^{\frac{2}{\log_4 3}} \cdot (0,6)^{\frac{2}{\log_4 3}}$

Поскольку у обоих множителей одинаковый показатель степени, мы можем использовать свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и перемножить основания:
$(5 \cdot 0,6)^{\frac{2}{\log_4 3}} = 3^{\frac{2}{\log_4 3}}$.

Далее, преобразуем показатель степени, используя свойство логарифма $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$:
$\frac{2}{\log_4 3} = 2 \cdot \frac{1}{\log_4 3} = 2\log_3 4$.

Теперь применим свойство $k \log_a b = \log_a b^k$:
$2\log_3 4 = \log_3 4^2 = \log_3 16$.

Подставим полученное выражение обратно в степень:
$3^{\log_3 16}$.

Согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем результат:
$3^{\log_3 16} = 16$.

Ответ: 16

б) $(3,5)^{\frac{1}{2\log_4 7}} \cdot 2^{\frac{1}{2\log_4 7}}$

Как и в предыдущем примере, объединим основания, так как показатели степеней одинаковы:
$(3,5 \cdot 2)^{\frac{1}{2\log_4 7}} = 7^{\frac{1}{2\log_4 7}}$.

Преобразуем показатель степени. Сначала вынесем константу, а затем применим свойство $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$:
$\frac{1}{2\log_4 7} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\log_4 7} = \frac{1}{2}\log_7 4$.

Используем свойство $k \log_a b = \log_a b^k$:
$\frac{1}{2}\log_7 4 = \log_7 4^{\frac{1}{2}} = \log_7 \sqrt{4} = \log_7 2$.

Подставим упрощенный показатель в выражение:
$7^{\log_7 2}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$7^{\log_7 2} = 2$.

Ответ: 2

в) $20^{\frac{2}{3\log_2 10}} \cdot 50^{\frac{2}{3\log_2 10}}$

Объединим основания степеней, так как показатели одинаковы:
$(20 \cdot 50)^{\frac{2}{3\log_2 10}} = 1000^{\frac{2}{3\log_2 10}}$.

Представим основание $1000$ как $10^3$ и применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(10^3)^{\frac{2}{3\log_2 10}} = 10^{3 \cdot \frac{2}{3\log_2 10}} = 10^{\frac{2}{\log_2 10}}$.

Преобразуем показатель степени, используя свойство $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$. Заметим, что $\log_{10} x$ также записывается как $\lg x$:
$\frac{2}{\log_2 10} = 2 \cdot \frac{1}{\log_2 10} = 2\log_{10} 2 = 2\lg 2$.

Используем свойство $k \log_a b = \log_a b^k$:
$2\lg 2 = \lg 2^2 = \lg 4$.

Подставим полученный показатель в выражение:
$10^{\lg 4}$.

По основному логарифмическому тождеству (в данном случае для десятичного логарифма, $10^{\lg b} = b$):
$10^{\lg 4} = 4$.

Ответ: 4