Номер 3.61, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.61. Найдите значение выражения:

a) $5 \cdot \log_3 25 \cdot \log_5 81 + 15^{\log_{15} 7}$

б) $5^{0,25\log_5 16} + \log_5 \sqrt{8} \cdot \log_2 125$

а) $5 \cdot \log_{3} 25 \cdot \log_{5} 81 + 15^{\log_{15} 7}$
Для решения данного выражения воспользуемся свойствами логарифмов. Разберем выражение по частям.

1. Упростим первое слагаемое: $5 \cdot \log_{3} 25 \cdot \log_{5} 81$.
Представим числа под знаками логарифмов в виде степеней: $25 = 5^2$ и $81 = 3^4$.
Применим свойство логарифма $\log_a b^c = c \cdot \log_a b$:
$\log_{3} 25 = \log_{3} 5^2 = 2 \log_{3} 5$
$\log_{5} 81 = \log_{5} 3^4 = 4 \log_{5} 3$
Подставим полученные выражения обратно в первое слагаемое:
$5 \cdot (2 \log_{3} 5) \cdot (4 \log_{5} 3) = 5 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \log_{3} 5 \cdot \log_{5} 3 = 40 \cdot \log_{3} 5 \cdot \log_{5} 3$
Используем свойство $\log_a b \cdot \log_b a = 1$. В нашем случае $\log_{3} 5 \cdot \log_{5} 3 = 1$.
Следовательно, значение первого слагаемого равно $40 \cdot 1 = 40$.

2. Упростим второе слагаемое: $15^{\log_{15} 7}$.
Воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$:
$15^{\log_{15} 7} = 7$.

3. Сложим результаты:
$40 + 7 = 47$.
Ответ: 47.

б) $5^{0,25\log_{5} 16} + \log_{5} \sqrt{8} \cdot \log_{2} 125$
Решим это выражение по частям.

1. Упростим первое слагаемое: $5^{0,25\log_{5} 16}$.
Используем свойство $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$, чтобы внести множитель 0,25 под знак логарифма:
$0,25 \log_{5} 16 = \log_{5} 16^{0,25}$
Поскольку $0,25 = \frac{1}{4}$, то $16^{0,25} = 16^{1/4} = \sqrt[4]{16} = 2$.
Таким образом, выражение принимает вид:
$5^{\log_{5} 2}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$5^{\log_{5} 2} = 2$.

2. Упростим второе слагаемое: $\log_{5} \sqrt{8} \cdot \log_{2} 125$.
Представим числа под логарифмами в виде степеней: $\sqrt{8} = (2^3)^{1/2} = 2^{3/2}$ и $125 = 5^3$.
Подставим в выражение:
$\log_{5} (2^{3/2}) \cdot \log_{2} (5^3)$
Используем свойство $\log_a b^c = c \cdot \log_a b$:
$(\frac{3}{2} \log_{5} 2) \cdot (3 \log_{2} 5) = \frac{3}{2} \cdot 3 \cdot \log_{5} 2 \cdot \log_{2} 5 = \frac{9}{2} \cdot (\log_{5} 2 \cdot \log_{2} 5)$
Используем свойство $\log_a b \cdot \log_b a = 1$. В нашем случае $\log_{5} 2 \cdot \log_{2} 5 = 1$.
Значит, второе слагаемое равно $\frac{9}{2} \cdot 1 = 4,5$.

3. Сложим результаты:
$2 + 4,5 = 6,5$.
Ответ: 6,5.