Номер 3.67, страница 113 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.67. В одной системе координат постройте графики функций $y = \frac{4}{x}$ и $y = 2x - 2$. Найдите координаты их общих точек.

Построение графиков функций $y = \frac{4}{x}$ и $y = 2x - 2$

1. Функция $y = \frac{4}{x}$ — это обратная пропорциональность, ее график называется гиперболой. Поскольку коэффициент $k=4$ положителен, ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$. Для построения графика составим таблицу значений:

Нанеся эти точки на координатную плоскость и соединив их плавными кривыми, мы получим график гиперболы.

2. Функция $y = 2x - 2$ — это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно найти две любые точки. Удобно найти точки пересечения с осями координат:

• При $x=0$, получаем $y = 2 \cdot 0 - 2 = -2$. Точка пересечения с осью OY: $(0, -2)$.
• При $y=0$, получаем $0 = 2x - 2$, откуда $2x = 2$, и $x=1$. Точка пересечения с осью OX: $(1, 0)$.

Проведя прямую через эти две точки, мы получим график данной функции.

Нахождение координат общих точек

Координаты общих точек (точек пересечения) графиков — это решения системы уравнений, составленной из уравнений данных функций:

$ \begin{cases} y = \frac{4}{x} \\ y = 2x - 2 \end{cases} $

Чтобы найти абсциссы ($x$) точек пересечения, приравняем правые части уравнений:

$\frac{4}{x} = 2x - 2$

Данное уравнение имеет смысл при $x \neq 0$. Умножим обе части на $x$:

$4 = x(2x - 2)$

$4 = 2x^2 - 2x$

Перенесем все в левую часть и приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$2x^2 - 2x - 4 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся формулой для корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Корни уравнения равны:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$

Теперь найдем соответствующие ординаты ($y$), подставив найденные значения $x$ в одно из исходных уравнений (например, в $y = 2x - 2$):

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$.

Первая общая точка: $(2, 2)$.

Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 2(-1) - 2 = -2 - 2 = -4$.

Вторая общая точка: $(-1, -4)$.

Ответ: $(2, 2)$ и $(-1, -4)$.