Номер 3.70, страница 113 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.70. Две студенческие бригады, работая вместе, справились с заданием за 7,5 ч. Найдите, за какое время может справиться с таким же заданием одна студенческая бригада, работая отдельно, если она может выполнить его на 8 ч быстрее другой бригады.

Пусть первая (более быстрая) бригада может выполнить задание, работая отдельно, за $x$ часов. Тогда вторая бригада, которая работает на 8 часов медленнее, выполнит то же задание за $(x+8)$ часов.

Производительность труда (часть работы, выполняемая за 1 час) для первой бригады составляет $\frac{1}{x}$, а для второй — $\frac{1}{x+8}$.

Когда бригады работают вместе, их производительности складываются. Общая производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+8}$.

По условию, работая вместе, они справились с заданием за 7,5 часов. Это значит, что их совместная производительность составляет $\frac{1}{7.5}$ часть работы в час.

Составим уравнение, приравняв совместную производительность к известному значению:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+8} = \frac{1}{7.5}$

Для решения преобразуем уравнение. Заменим $7.5$ на дробь $\frac{15}{2}$, тогда $\frac{1}{7.5} = \frac{2}{15}$. Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{x+8+x}{x(x+8)} = \frac{2}{15}$
$\frac{2x+8}{x^2+8x} = \frac{2}{15}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$15(2x+8) = 2(x^2+8x)$
$30x + 120 = 2x^2 + 16x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2x^2 + 16x - 30x - 120 = 0$
$2x^2 - 14x - 120 = 0$
Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
$x^2 - 7x - 60 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289$
$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-7) + 17}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 17}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$x_2 = \frac{-(-7) - 17}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 17}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Корень $x_2 = -5$ не имеет физического смысла, так как время не может быть отрицательным. Следовательно, время, за которое первая (быстрая) бригада выполнит работу, составляет 12 часов.

Время работы второй бригады будет:
$x+8 = 12+8 = 20$ часов.

Таким образом, одна бригада может выполнить задание за 12 часов, а другая — за 20 часов.
Ответ: 12 часов и 20 часов.