Номер 3.65, страница 113 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.65. С помощью рисунка 21, на котором изображен график функции $y = f(x)$, заданной на множестве $[-8; 8]$, найдите:

Рис. 21

а) множество значений функции;

б) нули функции;

в) промежутки знакопостоянства функции;

г) промежутки монотонности функции;

д) число корней уравнения $f(x) = 2$;

е) число корней уравнения $f(x) = 2^x$.

а) множество значений функции;

Множество значений функции (или область значений) — это все значения, которые принимает зависимая переменная $y$. Чтобы найти его по графику, нужно определить наименьшее и наибольшее значение функции на всей её области определения, которая по условию является отрезком $[-8; 8]$.

Из графика видно, что наименьшее значение функции достигается в правой крайней точке области определения, при $x = 8$, и оно равно $y_{min} = -5$.

Наибольшее значение функции достигается в точке локального максимума при $x = 2$, и оно равно $y_{max} = 3$.

Следовательно, функция принимает все значения из отрезка от $-5$ до $3$ включительно.

Ответ: $E(f) = [-5; 3]$.

б) нули функции;

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю, то есть $f(x) = 0$. На графике это абсциссы точек пересечения с осью $Ox$.

График функции пересекает ось абсцисс в четырех точках. Их абсциссы:

$x = -7$, $x = -5$, $x = -1$, $x = 4$.

Ответ: $-7; -5; -1; 4$.

в) промежутки знакопостоянства функции;

Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция сохраняет свой знак, то есть является либо строго положительной ($f(x) > 0$), либо строго отрицательной ($f(x) < 0$).

Функция положительна ($f(x) > 0$), когда её график находится выше оси $Ox$. Из графика видно, что это происходит на интервалах $(-7; -5)$ и $(-1; 4)$.

Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда её график находится ниже оси $Ox$. Это происходит на промежутках $[-8; -7)$, $(-5; -1)$ и $(4; 8]$. Концевые точки области определения $x=-8$ и $x=8$ включаются, так как $f(-8) = -4 < 0$ и $f(8) = -5 < 0$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-7; -5) \cup (-1; 4)$; $f(x) < 0$ при $x \in [-8; -7) \cup (-5; -1) \cup (4; 8]$.

г) промежутки монотонности функции;

Промежутки монотонности — это промежутки, на которых функция непрерывно возрастает или убывает. Точки экстремумов (максимумов и минимумов) принято включать в эти промежутки.

Функция возрастает, когда её график "идёт вверх" при движении слева направо. По графику определяем точки экстремумов: локальный максимум в $x=-6$, локальный минимум в $x=-3$ и глобальный максимум в $x=2$. Функция возрастает на отрезках $[-8; -6]$ и $[-3; 2]$.

Функция убывает, когда её график "идёт вниз" при движении слева направо. Это происходит на отрезках $[-6; -3]$ и $[2; 8]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-8; -6]$ и $[-3; 2]$; функция убывает на промежутках $[-6; -3]$ и $[2; 8]$.

д) число корней уравнения $f(x) = 2$;

Число корней уравнения $f(x) = 2$ соответствует числу точек пересечения графика функции $y = f(x)$ с горизонтальной прямой $y = 2$.

Если провести на графике прямую $y = 2$, параллельную оси $Ox$, то она пересечет график функции $y = f(x)$ в трех точках.

Ответ: 3.

е) число корней уравнения $f(x) = 2^x$.

Число корней уравнения $f(x) = 2^x$ равно числу точек пересечения графиков функций $y = f(x)$ и $y = 2^x$.

Проанализируем поведение двух функций. График $y = 2^x$ — это показательная функция, которая всегда положительна, монотонно возрастает на всей числовой оси и проходит через точку $(0; 1)$.

1. В точке $x=0$ имеем $f(0) = 1$ и $2^0 = 1$. Значения совпадают, следовательно, $x=0$ является корнем уравнения. Это первая точка пересечения.

2. На интервале $(-7, -6)$ функция $f(x)$ возрастает от $0$ до $2.5$. Функция $y=2^x$ на этом же интервале очень близка к нулю, но положительна. Поскольку $f(-7)=0 < 2^{-7}$ и $f(-6)=2.5 > 2^{-6}$, графики пересекаются. Это вторая точка пересечения.

3. На интервале $(-6, -5)$ функция $f(x)$ убывает от $2.5$ до $0$. Поскольку $f(-6)=2.5 > 2^{-6}$ и $f(-5)=0 < 2^{-5}$, графики также пересекаются. Это третья точка пересечения.

4. На интервале $(1, 2)$ функция $f(x)$ возрастает от $f(1) \approx 2.5$ до $f(2)=3$. Функция $y=2^x$ возрастает от $2^1=2$ до $2^2=4$. Поскольку $f(1) > 2^1$ и $f(2) < 2^2$, здесь тоже есть точка пересечения. Это четвертая точка пересечения.

Других точек пересечения нет, так как при $x \to -\infty$ график $f(x)$ уходит в отрицательные значения, а $2^x \to 0^+$, а при $x > 2$ функция $f(x)$ убывает, в то время как $2^x$ быстро возрастает.

Ответ: 4.