Номер 3.64, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.64. Значение какого из данных выражений наибольшее, а какого — наименьшее:

а) $\sin\frac{\pi}{6}$;

б) $\sqrt[4]{25}$;

в) $\left(\frac{1}{81}\right)^{-\frac{1}{2}} ; $

г) $3^{\log_3 7}$;

д) $(-7)^0$?

Для того чтобы определить, значение какого из данных выражений наибольшее, а какого — наименьшее, вычислим значение каждого из них поочередно.

а) Выражение $ \sin\frac{\pi}{6} $.
Это табличное значение синуса для угла $ \frac{\pi}{6} $ радиан, что соответствует $30^\circ$.
$ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} = 0.5 $

б) Выражение $ \sqrt[4]{25} $.
Упростим его, используя свойства степеней, предварительно представив $ 25 $ как $ 5^2 $.
$ \sqrt[4]{25} = 25^{\frac{1}{4}} = (5^2)^{\frac{1}{4}} = 5^{2 \cdot \frac{1}{4}} = 5^{\frac{2}{4}} = 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5} $

в) Выражение $ \left(\frac{1}{81}\right)^{-\frac{1}{2}} $.
Применим свойство степени с отрицательным показателем $ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} $ и определение степени с дробным показателем $ a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a} $.
$ \left(\frac{1}{81}\right)^{-\frac{1}{2}} = 81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9 $

г) Выражение $ 3^{\log_3 7} $.
Согласно основному логарифмическому тождеству $ a^{\log_a b} = b $, получаем:
$ 3^{\log_3 7} = 7 $

д) Выражение $ (-7)^0 $.
Любое отличное от нуля число в нулевой степени равно единице.
$ (-7)^0 = 1 $

Теперь сравним полученные значения: $0.5$; $ \sqrt{5} $; $ 9 $; $ 7 $; $ 1 $.
Для удобства сравнения оценим $ \sqrt{5} $. Поскольку $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, то $2 < \sqrt{5} < 3$.
Расположим все полученные значения в порядке возрастания:
$ 0.5 < 1 < \sqrt{5} < 7 < 9 $
Это соответствует следующему порядку исходных выражений:
$ \sin\frac{\pi}{6} < (-7)^0 < \sqrt[4]{25} < 3^{\log_3 7} < \left(\frac{1}{81}\right)^{-\frac{1}{2}} $
Следовательно, наименьшее значение у выражения из пункта а), а наибольшее — у выражения из пункта в).
Ответ: Наибольшее значение имеет выражение в) $ \left(\frac{1}{81}\right)^{-\frac{1}{2}} $, а наименьшее значение имеет выражение а) $ \sin\frac{\pi}{6} $.