Номер 3.68, страница 113 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.68. Найдите значение выражения, используя свойства корня n-й степени:

а) $5\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4};$

б) $-\sqrt[5]{9} \cdot \sqrt[5]{27};$

в) $5\sqrt[3]{10} \cdot (\sqrt[3]{-100});$

г) $0,4\sqrt[4]{5} \cdot 3\sqrt[4]{125}.$

а) Для вычисления значения выражения $5\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}$ воспользуемся свойством произведения корней n-й степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$. Объединим корни под один знак радикала.
$5\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} = 5 \cdot \sqrt[3]{2 \cdot 4} = 5\sqrt[3]{8}$.
Поскольку $2^3 = 8$, то кубический корень из 8 равен 2: $\sqrt[3]{8} = 2$.
Таким образом, $5\sqrt[3]{8} = 5 \cdot 2 = 10$.
Ответ: 10

б) В выражении $-\sqrt[5]{9} \cdot 5\sqrt[5]{27}$ сгруппируем числовые множители и корни, а затем применим свойство произведения корней.
$-\sqrt[5]{9} \cdot 5\sqrt[5]{27} = -5 \cdot (\sqrt[5]{9} \cdot \sqrt[5]{27}) = -5\sqrt[5]{9 \cdot 27}$.
Чтобы упростить подкоренное выражение, представим 9 и 27 как степени числа 3: $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$.
$-5\sqrt[5]{9 \cdot 27} = -5\sqrt[5]{3^2 \cdot 3^3} = -5\sqrt[5]{3^{2+3}} = -5\sqrt[5]{3^5}$.
Корень пятой степени из $3^5$ равен 3.
$-5\sqrt[5]{3^5} = -5 \cdot 3 = -15$.
Ответ: -15

в) В выражении $5\sqrt[3]{10} \cdot (\sqrt[3]{-100})$ используем свойство произведения корней. Так как степень корня (3) нечетная, под корнем может быть отрицательное число.
$5\sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[3]{-100} = 5\sqrt[3]{10 \cdot (-100)} = 5\sqrt[3]{-1000}$.
Кубический корень из -1000 равен -10, так как $(-10)^3 = -1000$.
$5\sqrt[3]{-1000} = 5 \cdot (-10) = -50$.
Ответ: -50

г) Для вычисления значения выражения $0,4\sqrt[4]{5} \cdot 3\sqrt[4]{125}$ сгруппируем множители и воспользуемся свойством произведения корней.
$0,4\sqrt[4]{5} \cdot 3\sqrt[4]{125} = (0,4 \cdot 3) \cdot (\sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{125}) = 1,2 \cdot \sqrt[4]{5 \cdot 125}$.
Представим 125 как степень числа 5: $125 = 5^3$.
$1,2 \cdot \sqrt[4]{5 \cdot 125} = 1,2 \cdot \sqrt[4]{5^1 \cdot 5^3} = 1,2 \cdot \sqrt[4]{5^4}$.
Корень четвертой степени из $5^4$ равен 5.
$1,2 \cdot \sqrt[4]{5^4} = 1,2 \cdot 5 = 6$.
Ответ: 6