Номер 3.74, страница 114 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.74. Изобразите график какой-нибудь функции $y = f(x)$, зная, что:

а) область определения функции — промежуток $[-4; 3];

б) множество значений функции — промежуток $[-3; 5];

в) функция убывает на промежутках $[-4; -1]$ и $[1; 3]$, возрастает на промежутке $[-1; 1];

г) нули функции: $-2$ и $1$.

Для построения графика функции $y=f(x)$, удовлетворяющего заданным условиям, проанализируем их последовательно и объединим полученные сведения.

а) область определения функции — промежуток [−4; 3]

Это условие означает, что график функции расположен строго в пределах вертикальных прямых $x=-4$ и $x=3$. Точки на концах промежутка, $(-4, f(-4))$ и $(3, f(3))$, принадлежат графику.

б) множество значений функции — промежуток [−3; 5]

Это условие означает, что все значения функции лежат в диапазоне от $-3$ до $5$. Самая высокая точка графика имеет ординату $y=5$ (глобальный максимум), а самая низкая — ординату $y=-3$ (глобальный минимум).

в) функция убывает на промежутках [−4; −1] и [1; 3], возрастает на промежутке [−1; 1]

Из характера монотонности следует, что в точке $x=-1$ убывание сменяется возрастанием, значит, это точка локального минимума. В точке $x=1$ возрастание сменяется убыванием, значит, это точка локального максимума.

г) нули функции: −2 и 1

Нули функции — это точки, в которых график пересекает ось абсцисс ($Ox$). Таким образом, точки $(-2, 0)$ и $(1, 0)$ принадлежат графику. То есть, $f(-2)=0$ и $f(1)=0$.

Теперь синтезируем все условия для построения эскиза графика.

1. Из условия (г) имеем точку $(1, 0)$. Из условия (в) знаем, что при $x=1$ достигается локальный максимум. Следовательно, точка $(1, 0)$ является точкой локального максимума.

2. Из условия (в) имеем локальный минимум при $x=-1$. Учитывая, что глобальный минимум функции равен $-3$ (условие б), можно заключить, что он достигается именно в этой точке. Таким образом, получаем точку глобального минимума: $(-1, -3)$.

3. Глобальный максимум функции равен $5$ (условие б). Он не может достигаться в точке локального максимума $(1, 0)$, так как $5 \neq 0$. Значит, он достигается на одном из концов области определения: при $x=-4$ или $x=3$. На промежутке $[1; 3]$ функция убывает, поэтому $f(3) < f(1) = 0$. Следовательно, $f(3)$ не может быть равно $5$. Остается единственный вариант: глобальный максимум достигается при $x=-4$. Таким образом, получаем начальную точку графика: $(-4, 5)$.

4. Для конечной точки графика при $x=3$ мы знаем, что $f(3) < f(1) = 0$ и $f(3) \ge -3$ (из множества значений). Можно выбрать любое подходящее значение, например, $f(3)=-2$. Тогда конечная точка графика — $(3, -2)$.

5. Проверим согласованность с нулем функции в точке $x=-2$. Точка $(-2, 0)$ лежит на интервале убывания $[-4; -1]$. Значения функции в ключевых точках этого интервала $f(-4)=5$, $f(-2)=0$, $f(-1)=-3$ действительно образуют убывающую последовательность, что подтверждает корректность наших выводов.

Таким образом, один из возможных графиков функции — это плавная кривая, соединяющая по порядку следующие ключевые точки: $(-4, 5)$, $(-2, 0)$, $(-1, -3)$, $(1, 0)$ и $(3, -2)$.

Ответ: График функции представляет собой кривую, расположенную в прямоугольнике, ограниченном прямыми $x=-4$, $x=3$, $y=-3$, $y=5$. Один из возможных вариантов графика проходит через следующие ключевые точки:
• Начальная точка (глобальный максимум): $(-4, 5)$.
• Точка пересечения с осью $Ox$: $(-2, 0)$.
• Точка минимума (глобальный): $(-1, -3)$.
• Точка локального максимума и пересечения с осью $Ox$: $(1, 0)$.
• Конечная точка: $(3, -2)$.
График убывает на промежутках $[-4; -1]$ и $[1; 3]$ и возрастает на промежутке $[-1; 1]$.