Номер 3.79, страница 114 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.79. Используйте формулы двойных углов и решите уравнение:

a) $2\sin x \cos x = -1;$

б) $\sin^2 x - \cos^2 x = \frac{\sqrt{3}}{2}.$

а)

Дано уравнение $2\sin x \cos x = -1$.

Согласно формуле синуса двойного угла, $2\sin x \cos x = \sin(2x)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\sin(2x) = -1$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение, являющееся частным случаем. Решение уравнения $\sin(y) = -1$ имеет вид $y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае $y = 2x$, поэтому мы можем записать:

$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{-\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{2}$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $\sin^2 x - \cos^2 x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.

Обратим внимание, что левая часть нашего уравнения отличается от формулы знаком. Вынесем -1 за скобки:

$\sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x)$.

Теперь мы можем заменить выражение в скобках на $\cos(2x)$:

$-(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos(2x)$.

Уравнение принимает вид:

$-\cos(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Умножим обе части уравнения на -1:

$\cos(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение уравнения $\cos(y) = a$ записывается как $y = \pm\arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $y = 2x$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдём значение арккосинуса: $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Подставляем это значение в общую формулу решения:

$2x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:

$x = \frac{\pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k}{2}$

$x = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.