Номер 3.85, страница 115 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.85. Найдите область определения функции:

a) $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 3}$;

б) $g(x) = \sqrt{6x - x^2 + 7}$.

а) $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 3}$

Область определения функции находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Таким образом, необходимо решить неравенство:

$x^2 - 4x + 3 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. Воспользуемся теоремой Виета:

$x_1 + x_2 = 4$

$x_1 \cdot x_2 = 3$

Отсюда находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 4x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=1$ и $x=3$. Неравенство $x^2 - 4x + 3 \ge 0$ выполняется там, где график параболы находится на оси абсцисс или выше нее. Это происходит на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, область определения функции — это объединение промежутков $(-\infty, 1]$ и $[3, \infty)$.

Ответ: $D(f) = (-\infty, 1] \cup [3, \infty)$.

б) $g(x) = \sqrt{6x - x^2 + 7}$

Область определения функции задается условием неотрицательности подкоренного выражения:

$6x - x^2 + 7 \ge 0$

Умножим неравенство на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства с положительным старшим коэффициентом:

$x^2 - 6x - 7 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{6 \pm 8}{2}$

$x_1 = \frac{6 - 8}{2} = -1$

$x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7$

Графиком функции $y = x^2 - 6x - 7$ является парабола с ветвями, направленными вверх, которая пересекает ось абсцисс в точках $x = -1$ и $x = 7$. Неравенство $x^2 - 6x - 7 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, где график параболы находится на оси абсцисс или ниже нее.

Следовательно, решением неравенства является отрезок $[-1, 7]$.

Ответ: $D(g) = [-1, 7]$.