Номер вопрос 2, страница 123 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Среди графиков функций, изображенных на рисунке 25, выберите график логарифмической функции $y = \log_a x$ с основанием:

а) большим 1;

б) меньшим 1.

1) $y \uparrow$

2) $y \uparrow$

3) $y \uparrow$

4) $y \uparrow$

5) $y \uparrow$

6) $y \uparrow$

Рис. 25

Для решения задачи проанализируем свойства логарифмической функции $y = \log_a x$.

• Область определения: $x > 0$. Это означает, что график функции полностью расположен в правой полуплоскости (справа от оси Oy).
• Ключевая точка: График любой логарифмической функции проходит через точку $(1; 0)$, поскольку $\log_a 1 = 0$ при любом допустимом основании $a$ ($a > 0$, $a \neq 1$).
• Асимптота: Ось Oy (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой для графика.
• Монотонность: Поведение функции зависит от величины основания $a$.
  • Если основание $a > 1$, функция является возрастающей на всей области определения.
  • Если основание $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей области определения.

Рассмотрим предложенные графики. Графики 4 (парабола), 5 (показательная функция, проходящая через $(0; 1)$) и 6 (прямая линия) не являются графиками логарифмической функции $y = \log_a x$. Следовательно, выбор нужно делать из графиков 1, 2 и 3.

а) Требуется выбрать график логарифмической функции с основанием большим 1.
Согласно свойствам, при $a > 1$ логарифмическая функция является возрастающей. Среди графиков 1, 2 и 3 только график 1 изображает возрастающую функцию. Он проходит через точку $(1; 0)$, его область определения $x > 0$, и он имеет вертикальную асимптоту $x=0$. Таким образом, график 1 соответствует функции $y = \log_a x$ при $a > 1$.
Ответ: 1.

б) Требуется выбрать график логарифмической функции с основанием меньшим 1.
Согласно свойствам, при $0 < a < 1$ логарифмическая функция является убывающей. Этому условию соответствуют графики 2 и 3. Оба графика проходят через точку $(1; 0)$, определены для $x > 0$ и являются убывающими.
Однако, у логарифмической функции область значений — все действительные числа, то есть $(-\infty; +\infty)$. Это означает, что у неё нет горизонтальных асимптот. При $x \to +\infty$ функция $y = \log_a x$ (где $0 < a < 1$) стремится к $-\infty$.
График 3 изображает функцию, которая при увеличении $x$ быстро "выполаживается", что похоже на приближение к горизонтальной асимптоте. Такое поведение не характерно для логарифмической функции.
График 2, в свою очередь, более точно отражает поведение логарифмической функции, которая убывает на всей области определения без ограничений снизу. Поэтому график 2 является правильным выбором для функции $y = \log_a x$ при $0 < a < 1$.
Ответ: 2.