Номер 3.91, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.91. Постройте график функции:

а) $y = \log_3 x$;

б) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$.

а)

Для построения графика функции $y = \log_3 x$ проанализируем её свойства и найдем несколько ключевых точек.

Это логарифмическая функция с основанием $a = 3$.

Основные свойства:

• Область определения функции — все положительные числа, то есть $x \in (0, +\infty)$.
• Область значений функции — все действительные числа, то есть $y \in (-\infty, +\infty)$.
• Поскольку основание логарифма $a = 3 > 1$, функция является возрастающей на всей области определения.
• График пересекает ось абсцисс (Ox) в точке $(1, 0)$, так как $\log_3 1 = 3^0 = 1$, следовательно $y=0$ при $x=1$.
• Ось ординат (Oy) является вертикальной асимптотой для графика, так как при $x$, стремящемся к 0 справа ($x \to 0^+$), значение $y$ стремится к $-\infty$.

Составим таблицу значений для нескольких удобных точек, выбирая $x$ в виде степеней числа 3:

Для построения графика нужно отметить эти точки на координатной плоскости и соединить их плавной линией, учитывая, что линия уходит в $-\infty$ при приближении к оси Oy.

Ответ: График функции $y = \log_3 x$ — это плавная кривая, которая проходит через точку $(1, 0)$, возрастает на всей области определения $(0, +\infty)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$.

б)

Для построения графика функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ проанализируем её свойства и найдем несколько ключевых точек.

Это логарифмическая функция с основанием $a = 1/2$.

Основные свойства:

• Область определения функции — все положительные числа, то есть $x \in (0, +\infty)$.
• Область значений функции — все действительные числа, то есть $y \in (-\infty, +\infty)$.
• Поскольку основание логарифма $a = 1/2$, и $0 < 1/2 < 1$, функция является убывающей на всей области определения.
• График пересекает ось абсцисс (Ox) в точке $(1, 0)$, так как $\log_{\frac{1}{2}} 1 = (1/2)^0 = 1$, следовательно $y=0$ при $x=1$.
• Ось ординат (Oy) является вертикальной асимптотой для графика, так как при $x$, стремящемся к 0 справа ($x \to 0^+$), значение $y$ стремится к $+\infty$.

Составим таблицу значений для нескольких удобных точек, выбирая $x$ в виде степеней числа $1/2$ (или 2):

Для построения графика нужно отметить эти точки на координатной плоскости и соединить их плавной линией, учитывая, что линия уходит в $+\infty$ при приближении к оси Oy.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ — это плавная кривая, которая проходит через точку $(1, 0)$, убывает на всей области определения $(0, +\infty)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$.