Номер 3.94, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.94. Сравните $a$ с единицей, если:

а) $\log_a 0,8 > \log_a 0,9$;

б) $\log_a 5,6 > \log_a 5,3$.

Для решения задачи необходимо использовать свойство монотонности логарифмической функции $y = \log_a x$. Поведение этой функции зависит от ее основания $a$ (при этом всегда $a>0$ и $a \neq 1$).

• Если основание $a > 1$, то логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Таким образом, если $x_2 > x_1$, то $\log_a x_2 > \log_a x_1$.
• Если основание $0 < a < 1$, то логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Таким образом, если $x_2 > x_1$, то $\log_a x_2 < \log_a x_1$.

а) Дано неравенство $\log_a 0,8 > \log_a 0,9$.

Сравним аргументы логарифмов: $0,8 < 0,9$.
Мы видим, что меньшему значению аргумента ($0,8$) соответствует большее значение логарифма. То есть, знак неравенства для аргументов ($<$) противоположен знаку неравенства для значений функции ($>$).
Такое поведение характерно для убывающей логарифмической функции.
Функция является убывающей, если ее основание $a$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$.
Следовательно, $a$ меньше единицы.
Ответ: $a < 1$.

б) Дано неравенство $\log_a 5,6 > \log_a 5,3$.

Сравним аргументы логарифмов: $5,6 > 5,3$.
Мы видим, что большему значению аргумента ($5,6$) соответствует большее значение логарифма. То есть, знак неравенства для аргументов ($>$) совпадает со знаком неравенства для значений функции ($>$).
Такое поведение характерно для возрастающей логарифмической функции.
Функция является возрастающей, если ее основание $a$ удовлетворяет условию $a > 1$.
Следовательно, $a$ больше единицы.
Ответ: $a > 1$.