Номер 3.89, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.89. Укажите, какая из данных функций является возрастающей, а какая — убывающей при $x > 0$:

a) $y = \log_{2.4} x;$

б) $y = \log_{\frac{1}{3}} x;$

в) $y = \log_{0.9} x;$

г) $y = \log_{1.01} x.$

Для определения, является ли логарифмическая функция $y = \log_a x$ возрастающей или убывающей на своей области определения ($x > 0$), необходимо проанализировать ее основание $a$.

• Если основание логарифма больше единицы ($a > 1$), то функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.
• Если основание логарифма находится в интервале от 0 до 1 ($0 < a < 1$), то функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$.

Применим это правило к каждой из данных функций.

а) Дана функция $y = \log_{2,4} x$. Основание этого логарифма $a = 2,4$. Так как $a = 2,4 > 1$, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

б) Дана функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$. Основание этого логарифма $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < a = \frac{1}{3} < 1$, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

в) Дана функция $y = \log_{0,9} x$. Основание этого логарифма $a = 0,9$. Так как $0 < a = 0,9 < 1$, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

г) Дана функция $y = \log_{1,01} x$. Основание этого логарифма $a = 1,01$. Так как $a = 1,01 > 1$, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.