Номер 3.90, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.90. Выберите точку, принадлежащую графику функции $y = \log_5 x$:

а) A(1; 5);

б) B(10; 2);

в) C($\sqrt{5}$; $\frac{1}{2}$);

г) D(0; 0);

д) E($\frac{1}{25}$; 2).

Чтобы определить, какая из предложенных точек принадлежит графику функции $y = \log_5 x$, необходимо подставить координаты каждой точки $(x, y)$ в уравнение функции и проверить, выполняется ли получившееся равенство.

а) A(1; 5)

Подставляем $x=1$ и $y=5$ в уравнение $y = \log_5 x$.
Получаем равенство: $5 = \log_5 1$.
По основному свойству логарифма, логарифм единицы по любому основанию равен нулю, т.е. $\log_5 1 = 0$.
Следовательно, получаем неверное равенство $5 = 0$.
Ответ: точка не принадлежит графику.

б) B(10; 2)

Подставляем $x=10$ и $y=2$ в уравнение $y = \log_5 x$.
Получаем равенство: $2 = \log_5 10$.
По определению логарифма, это равенство эквивалентно показательному уравнению $5^2 = 10$.
Так как $5^2 = 25$, равенство $25 = 10$ является ложным.
Ответ: точка не принадлежит графику.

в) C($\sqrt{5}$; $\frac{1}{2}$)

Подставляем $x=\sqrt{5}$ и $y=\frac{1}{2}$ в уравнение $y = \log_5 x$.
Получаем равенство: $\frac{1}{2} = \log_5(\sqrt{5})$.
По определению логарифма, это равенство эквивалентно показательному уравнению $5^{1/2} = \sqrt{5}$.
Данное равенство является верным, так как возведение в степень $\frac{1}{2}$ — это то же самое, что и извлечение квадратного корня.
Ответ: точка принадлежит графику.

г) D(0; 0)

Подставляем $x=0$ и $y=0$ в уравнение $y = \log_5 x$.
Получаем выражение: $0 = \log_5 0$.
Область определения логарифмической функции — это все положительные числа ($x>0$). Так как $x=0$ не входит в область определения, выражение $\log_5 0$ не имеет смысла.
Ответ: точка не принадлежит графику.

д) E($\frac{1}{25}$; 2)

Подставляем $x=\frac{1}{25}$ и $y=2$ в уравнение $y = \log_5 x$.
Получаем равенство: $2 = \log_5(\frac{1}{25})$.
По определению логарифма, это равенство эквивалентно $5^2 = \frac{1}{25}$.
Так как $5^2 = 25$, равенство $25 = \frac{1}{25}$ является ложным.
(На самом деле, $\log_5(\frac{1}{25}) = \log_5(5^{-2}) = -2$).
Ответ: точка не принадлежит графику.