Номер вопрос 1, страница 123 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. На основании какого свойства логарифмической функции можно утверждать, что:

a) $\log_2 7 > \log_2 5$;

б) $\log_{\frac{1}{3}} 10 > \log_{\frac{1}{3}} 15$?

a)

Данное утверждение основано на свойстве монотонности логарифмической функции $y = \log_{a}x$.

Свойство заключается в следующем: если основание логарифма $a > 1$, то логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что для любых положительных чисел $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_2 > x_1$ следует неравенство $\log_{a}x_2 > \log_{a}x_1$. Иными словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

В неравенстве $\log_{2}7 > \log_{2}5$ основание логарифма $a=2$. Так как $2 > 1$, логарифмическая функция по основанию 2 является возрастающей. Сравнивая аргументы, мы видим, что $7 > 5$. Следовательно, на основании свойства возрастания функции, мы можем утверждать, что и значения логарифмов будут находиться в том же соотношении: $\log_{2}7 > \log_{2}5$.

Ответ: Утверждение основано на свойстве возрастания логарифмической функции при основании $a>1$.

б)

Это утверждение также основано на свойстве монотонности логарифмической функции $y = \log_{a}x$.

Если основание логарифма удовлетворяет условию $0 < a < 1$, то логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что для любых положительных чисел $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_2 > x_1$ следует неравенство $\log_{a}x_2 < \log_{a}x_1$. Иными словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (знак неравенства меняется на противоположный).

В неравенстве $\log_{\frac{1}{3}}10 > \log_{\frac{1}{3}}15$ основание логарифма $a=\frac{1}{3}$. Так как $0 < \frac{1}{3} < 1$, логарифмическая функция по основанию $\frac{1}{3}$ является убывающей. Сравнивая аргументы, мы видим, что $10 < 15$. Следовательно, на основании свойства убывания функции, значения логарифмов будут находиться в обратном соотношении: $\log_{\frac{1}{3}}10 > \log_{\frac{1}{3}}15$.

Ответ: Утверждение основано на свойстве убывания логарифмической функции при основании $0 < a < 1$.