Номер 3.92, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.92. Используйте свойства логарифмической функции и сравните значения выражений:

а) $\log_2 7$ и $\log_2 6$;

б) $\log_5 \sqrt{3}$ и $\log_5 \sqrt{2}$;

в) $\log_{0,3} 11$ и $\log_{0,3} 13$;

г) $\log_{\frac{1}{2}} \sqrt{5}$ и $\log_{\frac{1}{2}} 2,4$.

Основное свойство, которое мы будем использовать для сравнения, — это монотонность логарифмической функции $y = \log_a x$.

• Если основание $a > 1$, функция является возрастающей. Это значит, что для любых $x_1 > x_2 > 0$ выполняется неравенство $\log_a x_1 > \log_a x_2$. То есть, большему значению аргумента соответствует большее значение логарифма.
• Если основание $0 < a < 1$, функция является убывающей. Это значит, что для любых $x_1 > x_2 > 0$ выполняется неравенство $\log_a x_1 < \log_a x_2$. То есть, большему значению аргумента соответствует меньшее значение логарифма.

а) $\log_2 7$ и $\log_2 6$

Рассмотрим логарифмическую функцию $y = \log_2 x$. Основание логарифма $a = 2$.

Так как основание $a = 2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Следовательно, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Сравним аргументы логарифмов: $7$ и $6$.

Поскольку $7 > 6$, то и значение логарифма с большим аргументом будет больше: $\log_2 7 > \log_2 6$.

Ответ: $\log_2 7 > \log_2 6$.

б) $\log_5 \sqrt{3}$ и $\log_5 \sqrt{2}$

Рассмотрим логарифмическую функцию $y = \log_5 x$. Основание логарифма $a = 5$.

Так как основание $a = 5 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Следовательно, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Сравним аргументы логарифмов: $\sqrt{3}$ и $\sqrt{2}$.

Поскольку $3 > 2$, то $\sqrt{3} > \sqrt{2}$.

Так как функция возрастающая, то из $\sqrt{3} > \sqrt{2}$ следует, что $\log_5 \sqrt{3} > \log_5 \sqrt{2}$.

Ответ: $\log_5 \sqrt{3} > \log_5 \sqrt{2}$.

в) $\log_{0.3} 11$ и $\log_{0.3} 13$

Рассмотрим логарифмическую функцию $y = \log_{0.3} x$. Основание логарифма $a = 0.3$.

Так как основание $0 < a = 0.3 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сравним аргументы логарифмов: $11$ и $13$.

Поскольку $13 > 11$, а функция является убывающей, знак неравенства для логарифмов будет противоположным.

Следовательно, $\log_{0.3} 11 > \log_{0.3} 13$.

Ответ: $\log_{0.3} 11 > \log_{0.3} 13$.

г) $\log_{\frac{1}{2}} \sqrt{5}$ и $\log_{\frac{1}{2}} 2.4$

Рассмотрим логарифмическую функцию $y = \log_{\frac{1}{2}} x$. Основание логарифма $a = \frac{1}{2}$.

Так как основание $0 < a = \frac{1}{2} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Следовательно, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сравним аргументы логарифмов: $\sqrt{5}$ и $2.4$.

Для сравнения возведем оба положительных числа в квадрат: $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $(2.4)^2 = 5.76$.

Поскольку $5.76 > 5$, то $2.4 > \sqrt{5}$.

Так как функция убывающая, то из $2.4 > \sqrt{5}$ следует, что знак неравенства для логарифмов будет противоположным: $\log_{\frac{1}{2}} 2.4 < \log_{\frac{1}{2}} \sqrt{5}$.

Ответ: $\log_{\frac{1}{2}} \sqrt{5} > \log_{\frac{1}{2}} 2.4$.