Номер 3.98, страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.98. Постройте график функции $y = \log_3(x + 2) - 1$ и опишите ее свойства.

Построение графика функции $y = \log_3(x + 2) - 1$

График функции $y = \log_3(x + 2) - 1$ можно получить из графика базовой логарифмической функции $y = \log_3 x$ с помощью двух последовательных геометрических преобразований:

1. Сдвиг графика $y = \log_3 x$ на 2 единицы влево вдоль оси $Ox$. В результате этого преобразования получается график функции $y_1 = \log_3(x + 2)$.
2. Сдвиг полученного графика $y_1 = \log_3(x + 2)$ на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$. В результате этого преобразования получается искомый график $y = \log_3(x + 2) - 1$.

Для более точного построения найдем ключевые точки и асимптоту графика:

• Вертикальная асимптота: Исходная асимптота $x=0$ для функции $y=\log_3 x$ смещается на 2 единицы влево, поэтому вертикальной асимптотой для искомого графика является прямая $x = -2$.
• Пересечение с осью Ox (нуль функции): Найдем значение $x$, при котором $y=0$.
  $0 = \log_3(x + 2) - 1$
  $1 = \log_3(x + 2)$
  $x + 2 = 3^1$
  $x = 1$
  Таким образом, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(1, 0)$.
• Пересечение с осью Oy: Найдем значение $y$, при котором $x=0$.
  $y = \log_3(0 + 2) - 1 = \log_3 2 - 1$
  (Приблизительное значение $y \approx 0.631 - 1 = -0.369$)
  Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, \log_3 2 - 1)$.
• Дополнительная точка: Для проверки найдем еще одну точку. Например, при $x = -1$:
  $y = \log_3(-1 + 2) - 1 = \log_3 1 - 1 = 0 - 1 = -1$
  Таким образом, точка $(-1, -1)$ принадлежит графику.

График представляет собой возрастающую кривую, которая проходит через точки $(-1, -1)$ и $(1, 0)$ и неограниченно приближается к вертикальной асимптоте $x=-2$ (при $x$, стремящемся к $-2$ справа, $y$ стремится к $-\infty$).

Ответ: График функции $y = \log_3(x + 2) - 1$ — это график функции $y = \log_3 x$, смещенный на 2 единицы влево и на 1 единицу вниз. График имеет вертикальную асимптоту $x = -2$ и проходит через точки $(1, 0)$ и $(-1, -1)$.

Свойства функции $y = \log_3(x + 2) - 1$

1. Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x + 2 > 0 \implies x > -2$.
   $D(y) = (-2; +\infty)$.
2. Область значений: Множество всех действительных чисел.
   $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.
3. Нули функции: $y = 0$ при $x = 1$.
4. Промежутки знакопостоянства:
   Функция положительна ($y > 0$) при $\log_3(x + 2) > 1$, что равносильно $x + 2 > 3$, то есть $x > 1$. Интервал: $(1; +\infty)$.
   Функция отрицательна ($y < 0$) при $x \in (-2; 1)$.
5. Монотонность: Основание логарифма $a=3$, и так как $3 > 1$, функция является строго возрастающей на всей области определения $(-2; +\infty)$.
6. Четность, нечетность: Область определения $D(y) = (-2; +\infty)$ несимметрична относительно точки $O(0,0)$, следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).
7. Асимптоты: График функции имеет вертикальную асимптоту $x = -2$. Горизонтальные и наклонные асимптоты отсутствуют.
8. Экстремумы: Так как функция является строго монотонной, она не имеет точек максимума и минимума (экстремумов).

Ответ: Основные свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-2; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Нуль функции (корень): $x=1$.
4. $y > 0$ при $x \in (1; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-2; 1)$.
5. Функция строго возрастает на всей области определения.
6. Функция общего вида (ни четная, ни нечетная).
7. Вертикальная асимптота: $x=-2$.
8. Экстремумов нет.