Номер 3.103, страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.103*. Найдите множество значений функции:

а) $y = \log_{2} (x^2 + 2x + 9);$

б) $y = \log_{\frac{1}{4}} (|x - 5| + 16).$

а) $y = \log_2(x^2 + 2x + 9)$

Множество значений данной функции зависит от множества значений выражения, стоящего под знаком логарифма. Обозначим это выражение как $t(x) = x^2 + 2x + 9$. Тогда исходная функция примет вид $y = \log_2(t)$.

Найдем множество значений функции $t(x) = x^2 + 2x + 9$. Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ ($1 > 0$). Следовательно, функция имеет наименьшее значение в вершине параболы.

Координату $x$ вершины параболы найдем по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.

Наименьшее значение функции $t(x)$ равно значению функции в этой точке:
$t_{min} = t(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 9 = 1 - 2 + 9 = 8$.

Другой способ найти наименьшее значение — выделить полный квадрат:
$t(x) = x^2 + 2x + 9 = (x^2 + 2x + 1) + 8 = (x + 1)^2 + 8$.
Поскольку $(x + 1)^2 \ge 0$ для любого $x$, то наименьшее значение выражения $(x + 1)^2 + 8$ достигается при $(x + 1)^2 = 0$ и равно $8$.
Таким образом, множество значений аргумента логарифма $E(t) = [8, +\infty)$.

Теперь рассмотрим функцию $y = \log_2(t)$ на области значений $t \in [8, +\infty)$.
Так как основание логарифма $2 > 1$, функция $y = \log_2(t)$ является возрастающей. Это означает, что наименьшему значению аргумента $t$ соответствует наименьшее значение функции $y$.
Наименьшее значение функции $y$ равно:
$y_{min} = \log_2(8) = \log_2(2^3) = 3$.

Поскольку $t$ может принимать сколь угодно большие значения ($t \to +\infty$), то и $\log_2(t) \to +\infty$.
Следовательно, множество значений исходной функции $E(y) = [3, +\infty)$.

Ответ: $[3, +\infty)$.

б) $y = \log_{\frac{1}{4}}(|x - 5| + 16)$

Аналогично пункту а), найдем сначала множество значений выражения, стоящего под знаком логарифма. Обозначим его как $t(x) = |x - 5| + 16$. Тогда исходная функция примет вид $y = \log_{\frac{1}{4}}(t)$.

Найдем множество значений функции $t(x) = |x - 5| + 16$.
Выражение $|x - 5|$ по определению модуля всегда неотрицательно, то есть $|x - 5| \ge 0$.
Наименьшее значение выражения $|x - 5|$ равно $0$ и достигается при $x = 5$.
Следовательно, наименьшее значение функции $t(x)$ равно:
$t_{min} = 0 + 16 = 16$.

Таким образом, множество значений аргумента логарифма $E(t) = [16, +\infty)$.

Теперь рассмотрим функцию $y = \log_{\frac{1}{4}}(t)$ на области значений $t \in [16, +\infty)$.
Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{4} < 1$, функция $y = \log_{\frac{1}{4}}(t)$ является убывающей. Это означает, что наименьшему значению аргумента $t$ соответствует наибольшее значение функции $y$.
Наибольшее значение функции $y$ равно:
$y_{max} = \log_{\frac{1}{4}}(16) = \log_{4^{-1}}(4^2) = \frac{2}{-1} = -2$.

Поскольку $t$ может принимать сколь угодно большие значения ($t \to +\infty$), то значение убывающей функции $\log_{\frac{1}{4}}(t)$ будет стремиться к $-\infty$.
Следовательно, множество значений исходной функции $E(y) = (-\infty, -2]$.

Ответ: $(-\infty, -2]$.