Номер 3.107, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.107*. Постройте график функции:

а) $y = 2^{\log_2 x}$;

б) $y = 4^{\log_2 x}$;

В) $y = 3^{\log_3 \cos x}$;

Г) $y = 10^{\lg \sin x}$.

а) $y = 2^{\log_2 x}$

Для построения графика сначала упростим функцию. Воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$. Применяя его к нашей функции, получаем: $y = 2^{\log_2 x} = x$.

Однако, это преобразование справедливо только в области определения (ОДЗ) исходной функции. Для функции $y = 2^{\log_2 x}$ аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $x > 0$.

Следовательно, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = x$ при условии $x > 0$. Это луч, который является биссектрисой первого координатного угла. Он выходит из начала координат, при этом сама точка $(0,0)$ не принадлежит графику (является выколотой точкой).

Ответ: Графиком функции является луч $y=x$, расположенный в первой координатной четверти, с выколотой точкой в начале координат $(0,0)$.

б) $y = 4^{\log_2 x}$

Упростим данное выражение. Сначала приведем основание степени (4) к основанию логарифма (2): $4 = 2^2$. $y = (2^2)^{\log_2 x} = 2^{2\log_2 x}$.

Используя свойство логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$, получим: $y = 2^{\log_2 x^2}$.

Теперь по основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ имеем: $y = x^2$.

Найдем область определения исходной функции $y = 4^{\log_2 x}$. Аргумент логарифма должен быть положителен: $x > 0$.

Таким образом, график исходной функции — это часть параболы $y = x^2$, для которой $x > 0$. Это правая ветвь параболы с вершиной в начале координат. Точка $(0,0)$ не принадлежит графику (является выколотой точкой).

Ответ: Графиком функции является правая ветвь параболы $y=x^2$ с выколотой точкой в вершине $(0,0)$.

в) $y = 3^{\log_3 \cos x}$

Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, упрощаем функцию: $y = \cos x$.

Область определения исходной функции задается условием положительности аргумента логарифма: $\cos x > 0$.

Это неравенство справедливо для всех $x$, принадлежащих интервалам $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, график функции представляет собой совокупность участков графика функции $y = \cos x$ на интервалах, где косинус положителен. Это периодически повторяющиеся "арки" косинусоиды, расположенные выше оси абсцисс. Концевые точки каждого интервала, где $\cos x = 0$, являются выколотыми.

Ответ: Графиком функции являются части графика $y = \cos x$, лежащие выше оси Ох, то есть на интервалах $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

г) $y = 10^{\lg \sin x}$

Десятичный логарифм $\lg$ — это логарифм по основанию 10, то есть $\lg \sin x = \log_{10} \sin x$. Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$: $y = 10^{\log_{10} \sin x} = \sin x$.

Область определения исходной функции требует, чтобы аргумент логарифма был строго положителен: $\sin x > 0$.

Это неравенство выполняется для всех $x$, принадлежащих интервалам $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, график функции — это участки графика $y = \sin x$, на которых синус положителен. Это периодически повторяющиеся "горбы" синусоиды, расположенные в верхней полуплоскости. Точки на оси абсцисс, где $\sin x = 0$, являются выколотыми.

Ответ: Графиком функции являются части графика $y = \sin x$, лежащие выше оси Ох, то есть на интервалах $x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.