Номер 3.114, страница 127 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.114. Используйте свойства логарифмической функции и сравните значения выражений:

а) $log_{3} 7,1$ и $log_{3} 7,01$;

б) $log_{0,2} 2,3$ и $log_{0,2} 2,2$;

в) $log_{\frac{1}{6}} 0,23$ и $log_{\frac{1}{6}} 0,46$.

Для сравнения значений выражений $ \log_3 7.1 $ и $ \log_3 7.01 $ необходимо использовать свойство монотонности логарифмической функции $ y = \log_a x $.

В данном случае основание логарифма $ a = 3 $. Так как $ a > 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_3 x $ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Сравним аргументы логарифмов: $ 7.1 $ и $ 7.01 $. Очевидно, что $ 7.1 > 7.01 $.

Поскольку функция возрастающая, из неравенства для аргументов следует такое же неравенство для значений функции: $ \log_3 7.1 > \log_3 7.01 $.

Ответ: $ \log_3 7.1 > \log_3 7.01 $

Для сравнения значений выражений $ \log_{0.2} 2.3 $ и $ \log_{0.2} 2.2 $ рассмотрим логарифмическую функцию $ y = \log_{0.2} x $.

Основание логарифма $ a = 0.2 $. Так как $ 0 < a < 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_{0.2} x $ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сравним аргументы логарифмов: $ 2.3 $ и $ 2.2 $. Очевидно, что $ 2.3 > 2.2 $.

Поскольку функция убывающая, знак неравенства для значений функции будет противоположным знаку неравенства для аргументов: $ \log_{0.2} 2.3 < \log_{0.2} 2.2 $.

Ответ: $ \log_{0.2} 2.3 < \log_{0.2} 2.2 $

Для сравнения значений выражений $ \log_{\frac{1}{6}} 0.23 $ и $ \log_{\frac{1}{6}} 0.46 $ рассмотрим логарифмическую функцию $ y = \log_{\frac{1}{6}} x $.

Основание логарифма $ a = \frac{1}{6} $. Так как $ 0 < a < 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_{\frac{1}{6}} x $ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сравним аргументы логарифмов: $ 0.23 $ и $ 0.46 $. Очевидно, что $ 0.23 < 0.46 $.

Поскольку функция убывающая, знак неравенства для значений функции будет противоположным знаку неравенства для аргументов: $ \log_{\frac{1}{6}} 0.23 > \log_{\frac{1}{6}} 0.46 $.

Ответ: $ \log_{\frac{1}{6}} 0.23 > \log_{\frac{1}{6}} 0.46 $