Номер 3.115, страница 127 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.115. Сравните значения $y_1 = \log_2\sqrt{3}$; $y_2 = \log_2 1,8$; $y_3 = \log_2 1,5$; $y_4 = \log_2 0,09$ логарифмической функции $y = \log_2 x$ и расположите их в порядке убывания.

Для того чтобы сравнить данные значения, воспользуемся свойством монотонности логарифмической функции $y = \log_a x$.

В нашем случае основание логарифма $a=2$. Так как $a > 1$, функция $y = \log_2 x$ является возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что чем больше значение аргумента $x$, тем больше значение функции $y$.

Следовательно, для сравнения значений $y_1, y_2, y_3, y_4$ необходимо сравнить их аргументы:

$x_1 = \sqrt{3}$

$x_2 = 1,8$

$x_3 = 1,5$

$x_4 = 0,09$

Чтобы сравнить эти числа, удобно привести их к одному виду. Возведем все аргументы (которые являются положительными числами) в квадрат, так как для положительных чисел $a > b \iff a^2 > b^2$.

$x_1^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$

$x_2^2 = (1,8)^2 = 3,24$

$x_3^2 = (1,5)^2 = 2,25$

$x_4^2 = (0,09)^2 = 0,0081$

Теперь сравним полученные значения и расположим их в порядке убывания:

$3,24 > 3 > 2,25 > 0,0081$

Это означает, что для квадратов аргументов справедливо неравенство:

$x_2^2 > x_1^2 > x_3^2 > x_4^2$

Следовательно, для самих аргументов порядок сохраняется:

$x_2 > x_1 > x_3 > x_4$

или

$1,8 > \sqrt{3} > 1,5 > 0,09$

Поскольку функция $y = \log_2 x$ возрастающая, то для значений $y$ сохраняется тот же порядок, что и для их аргументов:

$\log_2 1,8 > \log_2 \sqrt{3} > \log_2 1,5 > \log_2 0,09$

Таким образом, $y_2 > y_1 > y_3 > y_4$.

Расположив значения в порядке убывания, получаем последовательность: $y_2, y_1, y_3, y_4$.

Ответ: $y_2, y_1, y_3, y_4$.