Номер 3.110, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.110. Среди рисунков 28, а—г выберите тот, на котором изображен график функции $y = \log_a x$, где $a > 1$.

а) б) в) г) Рис. 28

Чтобы определить, какой из графиков соответствует функции $y = \log_a x$ при условии $a > 1$, проанализируем свойства этой функции и сравним их с представленными на рисунках.

Основные свойства функции $y = \log_a x$, где $a > 1$:

• Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $x > 0$. Это означает, что график функции полностью расположен в правой полуплоскости (справа от оси OY).
• Область значений: Множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty; +\infty)$.
• Поведение функции (монотонность): Так как основание логарифма $a > 1$, функция является возрастающей на всей своей области определения. Это значит, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.
• Точки пересечения с осями координат:
  • График пересекает ось OX в точке $(1, 0)$, так как $\log_a 1 = 0$ для любого $a > 0, a \neq 1$.
  • График не пересекает ось OY, так как $x$ не может быть равен нулю.
• Асимптоты: Прямая $x = 0$ (ось OY) является вертикальной асимптотой. При $x$, стремящемся к нулю справа ($x \to 0^+$), значение функции стремится к минус бесконечности ($y \to -\infty$).

Теперь рассмотрим каждый из предложенных графиков:

а) График расположен в правой полуплоскости ($x > 0$), проходит через точку $(1, 0)$, является возрастающим и имеет вертикальную асимптоту $x = 0$, при приближении к которой $y \to -\infty$. Все эти характеристики полностью соответствуют свойствам функции $y = \log_a x$ при $a > 1$.

б) График расположен в правой полуплоскости и проходит через точку $(1, 0)$, однако он является убывающим. Убывающая логарифмическая функция соответствует случаю, когда основание логарифма $0 < a < 1$. Следовательно, этот график не подходит.

в) На этом рисунке изображена парабола, график квадратичной функции. Ее область определения — все действительные числа, она симметрична относительно оси OY. Это не является графиком логарифмической функции.

г) На этом рисунке изображен график показательной (экспоненциальной) функции вида $y = a^x$ при $a > 1$. График проходит через точку $(0, 1)$, его область определения — все действительные числа, а ось OX является горизонтальной асимптотой. Этот график является симметричным графику функции $y = \log_a x$ относительно прямой $y = x$, так как эти функции взаимно обратны, но не является искомым графиком.

Таким образом, единственным графиком, удовлетворяющим всем условиям, является график на рисунке а).

Ответ: а).