Номер 3.105, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.105*. Докажите, что функция $y = \log_{0,4}|x|$ является четной.

Для того чтобы доказать, что функция $y = f(x) = \log_{0,4}|x|$ является четной, необходимо проверить выполнение двух условий, которым должна удовлетворять четная функция.

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат. Это означает, что если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ также должен принадлежать ей.

Найдем область определения для функции $y = \log_{0,4}|x|$. Аргумент логарифмической функции должен быть строго положительным. $$|x| > 0$$ Это неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x = 0$. Таким образом, область определения функции: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Данная область определения симметрична относительно начала координат, так как если $x \in D(f)$, то $x \neq 0$, следовательно и $-x \neq 0$, а значит $-x \in D(f)$. Первое условие выполняется.

2. Для любого значения $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(-x) = f(x)$.

Подставим $-x$ в исходную функцию вместо $x$: $$f(-x) = \log_{0,4}|-x|$$ По определению модуля (абсолютной величины), для любого действительного числа $x$ справедливо равенство $|-x| = |x|$. Используя это свойство, получаем: $$f(-x) = \log_{0,4}|x|$$ Сравнивая полученное выражение с исходной функцией $f(x) = \log_{0,4}|x|$, видим, что $f(-x) = f(x)$. Второе условие также выполняется.

Поскольку оба условия для четной функции выполнены, мы доказали, что функция $y = \log_{0,4}|x|$ является четной.

Ответ: что и требовалось доказать.