Номер 3.101, страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.101. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

a) $f(x) = \log_4 x$ на отрезке $[1; 16];$

б) $f(x) = \log_{0,2} x$ на отрезке $[5; 125].$

а) Дана функция $f(x) = \log_4 x$ на отрезке $[1; 16]$.
Основание логарифма $a = 4$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей на всей своей области определения. Для возрастающей функции на заданном отрезке наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.
Найдем значение функции на концах отрезка $[1; 16]$:

• Наименьшее значение функции будет при $x=1$:
  $f_{наим} = f(1) = \log_4 1 = 0$
• Наибольшее значение функции будет при $x=16$:
  $f_{наиб} = f(16) = \log_4 16 = \log_4 (4^2) = 2$

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[1; 16]$ равно 0, а наибольшее значение равно 2.

б) Дана функция $f(x) = \log_{0.2} x$ на отрезке $[5; 125]$.
Основание логарифма $a = 0.2$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей на всей своей области определения. Для убывающей функции на заданном отрезке наибольшее значение достигается на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.
Найдем значение функции на концах отрезка $[5; 125]$:

• Наибольшее значение функции будет при $x=5$:
  $f_{наиб} = f(5) = \log_{0.2} 5 = \log_{1/5} 5 = \log_{5^{-1}} 5^1 = -1 \cdot \log_5 5 = -1$
• Наименьшее значение функции будет при $x=125$:
  $f_{наим} = f(125) = \log_{0.2} 125 = \log_{1/5} 125 = \log_{5^{-1}} 5^3 = -3 \cdot \log_5 5 = -3$

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[5; 125]$ равно -3, а наибольшее значение равно -1.