Номер 3.95, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.95. Найдите, при каком значении $a$ график функции $y = \log_a x$ проходит через точку:

а) P(2; 1);

б) B(4; -2);

в) K($\frac{1}{27}$; -3).

а) Чтобы график функции $y = \log_a x$ проходил через точку $P(2; 1)$, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению функции. Подставим значения $x = 2$ и $y = 1$ в уравнение функции:
$1 = \log_a 2$
Согласно определению логарифма, это равенство эквивалентно следующему:
$a^1 = 2$
Следовательно, $a = 2$.
Проверим условия для основания логарифма: $a > 0$ и $a \neq 1$. Значение $a = 2$ удовлетворяет этим условиям.
Ответ: $a = 2$.

б) Чтобы график функции $y = \log_a x$ проходил через точку $B(4; -2)$, подставим ее координаты $x = 4$ и $y = -2$ в уравнение:
$-2 = \log_a 4$
По определению логарифма:
$a^{-2} = 4$
$\frac{1}{a^2} = 4$
$a^2 = \frac{1}{4}$
Отсюда $a = \sqrt{\frac{1}{4}}$ или $a = -\sqrt{\frac{1}{4}}$, то есть $a = \frac{1}{2}$ или $a = -\frac{1}{2}$.
Так как основание логарифма должно быть положительным ($a > 0$), то подходит только значение $a = \frac{1}{2}$. Оно также удовлетворяет условию $a \neq 1$.
Ответ: $a = \frac{1}{2}$.

в) Чтобы график функции $y = \log_a x$ проходил через точку $K(\frac{1}{27}; -3)$, подставим ее координаты $x = \frac{1}{27}$ и $y = -3$ в уравнение:
$-3 = \log_a \left(\frac{1}{27}\right)$
По определению логарифма:
$a^{-3} = \frac{1}{27}$
Так как $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$, то уравнение можно записать в виде:
$a^{-3} = 3^{-3}$
Отсюда следует, что $a = 3$.
Это значение удовлетворяет условиям для основания логарифма ($a > 0, a \neq 1$).
Ответ: $a = 3$.